Un problema per i novizi
Inviato: 18 mag 2020, 20:10
Alberto fa un gioco: prende un numero naturale $n$ scritto in base 10 e somma le sue cifre. Poi somma le cifre del nuovo numero e ripete l'operazione all'infinito.
Ad esempio se $n=9999$ Alberto avrà, in quest'ordine:
$9999$
$9+9+9+9=36$
$3+6=9$
$9$
$9$
$9$
...
Ad un certo punto rimane sbigottito, perché uno stesso numero si ripete all'infinito (nell'esempio a ripetersi è il $9$). Sarà un caso? Supponendo che questa cosa si verifichi per ogni numero naturale $n$, esiste una caratterizzazione non banale dell'intero che si ripete all'infinito? È possibile generalizzare questo risultato al caso in cui ogni intero sia scritto in base $b\geq 2$ con $b$ intero?
Ad esempio se $n=9999$ Alberto avrà, in quest'ordine:
$9999$
$9+9+9+9=36$
$3+6=9$
$9$
$9$
$9$
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Ad un certo punto rimane sbigottito, perché uno stesso numero si ripete all'infinito (nell'esempio a ripetersi è il $9$). Sarà un caso? Supponendo che questa cosa si verifichi per ogni numero naturale $n$, esiste una caratterizzazione non banale dell'intero che si ripete all'infinito? È possibile generalizzare questo risultato al caso in cui ogni intero sia scritto in base $b\geq 2$ con $b$ intero?