Sia $ABC$ un triangolo e consideriamo la circonferenza $\omega_B$ passante per $B$ e tangente ad $AC$ in $A$ e la circonferenza $\omega_C$ passante per $C$ e tangente ad $AB$ in $A$.
$\omega_B$ interseca $BC$ nuovamente in $P$ e $\omega_C$ interseca $BC$ nuovamente in $Q$.
Siano $P’$ e $Q’$ rispettivamente i simmetrici di $A$ rispetto a $P, Q$.
Sia infine $s$ la simmediana uscente da $A$ ossia la retta simmetrica della mediana uscente da $A$ rispetto alla bisettrice di $\widehat{BAC}$.
Dimostrare che $s, BQ’, CP’$ concorrono.
Re: IMO vecchio personalizzato
Inviato: 03 lug 2020, 23:27
da LucaMac
#PiùBaricentricheSulForum
Di seguito quelle che, se non ho sbagliato i conti, sono le coordinate ed equazioni del problema.
Potrebbe essere istruttivo scrivere una soluzione completa.
Testo nascosto:
$A=(1,0,0);B=(0,1,0);C=(0,0,1)$.
$\omega_B : \sum\limits_{cyc} a^2yz = (x+y+z)b^2z$ e $\omega_C : \sum\limits_{cyc} a^2yz = (x+y+z)c^2y$.
$P=(0,b^2,a^2-b^2); Q=(0,a^2-c^2,c^2)$.
$P'=(-a^2,2b^2,2a^2-2b^2);Q'=(-a^2,2a^2-2c^2,2c^2)$.
$BQ': 2xc^2+a^2z = 0$ e $CP': 2xb^2+a^2y=0$
$s: yc^2=zb^2$.
E boh concorrono in $(-a^2,2b^2,2c^2)$.
Re: IMO vecchio personalizzato
Inviato: 04 lug 2020, 10:59
da Carlo42
Testo nascosto:
Chiamiamo [math]\Phi(x) la trasformazione data dalla composizione dell'inversione di centro [math]A e raggio [math]r=\sqrt{bc} e la simmetria rispetto alla bisettrice di [math]\widehat{BAC}.
Come è noto [math]\Phi(AB)=AC e [math]\Phi(AC)=AB , [math]\Phi(B)=C e [math]\Phi(C)=B . Dunque, poiché l'inversione manda circonferenze per il centro in rette e il centro nel punto all'infinito, [math]\Phi(\omega_B) sarà la retta parallela ad [math]AB passante per [math]C e analogamente [math]\Phi(\omega_C) sarà la retta parallela ad [math]ACpassante per [math]B. Inoltre [math]\Phi(BC) sarà la circonferenza per [math]A, [math]\Phi(B) e [math]\Phi(C) , dunque sarà la circoscritta ad [math]\triangle{ABC} . [math]\Phi(P) sarà quindi l'intersezione fra la circoscritta e la retta per [math]C parallela ad [math]AB. Inoltre, poiché [math]AP'=2AP, [math]\Phi(P') sarà il punto medio di [math]A\Phi(P) e dunque [math]\Phi(CP') sarà la circonferenza per [math]A, [math]B e il punto medio di [math]A\Phi(P) . Ma [math]A\Phi(P)CB è un trapezio isoscele, dunque [math]\Phi(CP') passerà per il punto medio di [math]BC. Allo stesso modo [math]\Phi(BQ') passerà per il punto medio di [math]BC e dunque, invertendo al contrario, si ottiene che le rette [math]BQ' e [math]CP' concorrono con l'immagine della mediana uscente da [math]A in [math]\triangle{ABC} , che è proprio la simmediana.