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Indicato con [math]T_n l'[math]n-esimo numero triangolare, cioè [math]T_n= \frac {n(n+1)}{2}, calcolare

[math]S=\sum_{k=1}^{100} T_k\cdot T_{101-k}

Io sono riuscito a risolvere il problema trovando la generica espressione polinomiale dell'ennesimo addendo di S per poi applicare le formule per le sommatorie delle potenze dei primi n numeri naturali (0 escluso). Con un po' di calcoli si arriva alla soluzione La soluzione data dall'esercizio è però direttamente per cui immagino che ci sia una strada molto più veloce che permette di risparmiare parecchi calcoli. Qualcuno la riesce a trovare?

La strada in questione potrebbe essere "le funzioni generatrici". In particolare se prendi la funzione generatrice (se vuoi un "polinomio infinito" con molte ma non troppe virgolette)
\begin{equation*}
p(x)=1+x+x^2+x^3+\dots
\end{equation*}

ti potrai rendere conto che $p(x)^3=T_1 +T_2 x+T_3 x^2 +T_4 x^3 +\dots$, e dunque $S=[x^{99}]p(x)^6$. Ma il coefficiente di $x^{99}$ nello sviluppo di $p(x)^6$ è dato dalla somma di tanti contributi $1$ quanti sono i modi di scrivere $99$ come "somma ordinata" di $6$ addendi, ovvero
$$ S=\binom{99+5}{5}=\binom{104}{5}$$.

Mi scuserai se non mi sono dilungato troppo in spiegazioni, ma è chiaro che non posso descriverti la teoria delle funzioni generatrici in un messaggio (di cui, comunque, non sono un esperto non essendo un combinatorista ma un TeoricodeiNumeri). Quindi ti consiglio di documentarti in materia da dei classici come "Generating Functionology" di Herbert Hilf o altri testi sacri o forum olimpici ecc.

Oppure prova a calcolare il numero di modi di scegliere $5$ elementi da $\{1,2,\ldots,103,104\}$ fissando il numero centrale (il terzo).