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considero l'insieme [math]A = \{t \in \mathbb{R^+} | t^n < x\} si ha che [math]t = x+1 è un maggiorante, dunque [math]A è superiormente limitato, [math]t = \frac{1}{x+1} è tale per cui [math]t^n < x dunque [math]A \neq \emptyset allora esiste [math]\alpha = sup(A). Dimostro che [math]\alpha^n = x.

(1) ipotizziamo che [math](\alpha^n < x)

pongo [math]k = \frac{x - \alpha^n}{n(\alpha + 1)^{n-1}} ed [math]0<k<1

allora [math](\alpha + k)^n - \alpha^n < kn(\alpha + k)^{n-1} =< x - \alpha^n ovvero [math](\alpha +k)^n < x

(2) ipotizziamo che [math]\alpha^n > x

pongo [math]h = \frac{\alpha^n - x}{n\alpha^{n-1}}

allora [math]\alpha^n - (\alpha - h)^n < hn\alpha^{n-1} = \alpha^n - x allora [math](\alpha - h)^n > x.

dunque deve essere [math]\alpha^n = x.