OliForum Matematico

Determinare il più piccolo $k$ intero positivo con $k>1$ tale che $255k^2+1$ risulti un quadrato perfetto.

So che questo problema risulterà semplicissimo per molti di voi, però vorrei sapere che "tecnica standard" utilizzare per un problema del genere. Ho provato tutte quelle che ho incontrato nella mia seppur breve esperienza olimpica ma non hanno funzionato

Ho trovato che $k=32$ funziona , ma non so dimostrare che è il valore più piccolo (senza usare la calcolatrice ovviamente)

Nessuno?

Evidentemente sono tutti in vacanza. Beati loro. Abbozzo io una soluzione. Segui pedissequamente la traccia 255k^2+1=x^2. Riscrivi x^2-255k^2=1 ovvero una equazione di Pell. Essendo 255=16^2-1 non serve neanche passare per le frazioni continue: soluzione base (x,k)=(16, 1). Visto che k deve essere >1 ti basta prendere la soluzione successiva (sqrt(255)+16)^2=511+32*sqrt(255) quindi k=32. Se non sai cos'è un'equazione di Pell è meglio che prima dai un'occhiata sul forum, dovrebbe esserci qualche tutorial scritto da qualche anima pia. Scusa se non mi dilungo ma scrivo da cellulare e mi rompo. Magari ragionando con le congruenze si riesce a ridurre tutto a pochi casi ma scusa ora vado di fretta.