Allora rispondo solo alla prima successione:
[math]\begin{cases}
x_{n+1} = 3x_{n} - 6n \\
x_{0} = 8 \end{cases}
Ecco un metodo che funziona:
STEP 1
Cominciamo considerando la successione omogenea associata, dove per omogenea intendo senza
[math]n. Dunque
[math]x_{n+1} = 3x_{n}.
Risolviamo prima questa successione per ricorrenza nella sua forma generale. Questa è una geometrica e la soluzione generale si vede facilmente che é
[math]x_n = 3^n \cdot k e ovviamente dipende dal valore iniziale
[math]x_{0}.
STEP 2
Troviamo una soluzione particolare della successione
[math]x_{n+1} = 3x_{n} - 6n. Mi spiego meglio: cerchiamo una funzione
[math]f(n) tale che
[math]f(n+1) = 3f(n) -6n. La ragione per cui lo facciamo sarà (poco) chiara più avanti. Comunque visto che nella successione compare un
[math]-6n potrei provare a cercare una funzione che sia un polinomio in
[math]n. Per esempio scriviamo
[math]f(n)=an + b (in questo caso basta di primo grado) dove
[math]a e
[math]b li calcoliamo ora in modo che funzionino.
Deve valere
[math]f(n+1) = 3f(n) - 6n, cioè
[math]a(n+1) + b = 3(an + b) - 6n per ogni
[math]n. Fai i conti e vedi che
[math]a=3 e
[math]b=3/2.
STEP 3
Per una ragione misteriosa consideriamo ora
[math]x_n = 3^n \cdot k + 3n + 3/2, cioè la somma della soluzione della successione omogenea associata + una soluzione particolare della non omogenea. Ricordiamoci che
[math]x_0 = 8 da cui
[math]x_0 = 3^0 \cdot k + 3\cdot 0 + 3/2 = 8 cioè
[math]k=13/2. Abbiamo ora ottenuto
[math]x_n = 3^n \cdot (13/2) + 3n + 3/2.
STEP 4
Dimostriamo che
[math]x_n = 3^n \cdot (13/2) + 3n + 3/2 funziona.
[math]x_0=8 lo abbiamo già verificato.
[math]x_{n+1} = 3^{n+1} \cdot (13/2) + 3(n+1) + 3/2 = 3^{n+1} \cdot (13/2) + 3n+ 3 + 3/2 +6n - 6n = 3^{n+1} \cdot (13/2) + 9n + 9/2 -6n = \\ 3(3^{n} \cdot 13/2 + 3n +3/2) - 6n = 3 x_{n} -6n.
Va beh l'ho fatta lunga con i conti su quest'ultima verifica, ma solo per enfatizzare il fatto che la verifica è importante visto che fondamentalmente ti ho raccontato un metodo per trovare le soluzioni senza dimostrarti che funziona nella sua generalità. (Hint: linearità).
I motivi per cui vale li puoi trovare spiegati al seguente sito
http://pagine.dm.unipi.it/gobbino/Home_ ... ttico.html nella sezione Analisi 1 matematica anno 2016/2017, lezioni 84/85 in poi. Ci sono pure le video lezioni.