Sia $ABC$ un triangolo con $AB=16, BC=24, CA=32$.
Sia $P$ un punto sul lato $AB$ e $Q$ un punto sul lato $AC$ tali che $BP=CQ=8$.
Le rette $BQ$ e $CP$ si intersecano in $X$, le circonferenze circoscritte ai triangoli $BPX$ e $CQX$ siano secanti in $X,Y$ con $X \neq Y$.
Detta $Z$ l'intersezione tra $AY$ e la retta $BC$ calcolare $BZ^2$.
Re: Raduna la tua squadra #2 - Problema 14
Inviato: 02 set 2020, 04:28
da ricarlos
Testo nascosto:
$(BXP) \cong (CXQ)$ (1), perché $BP = CQ$ e $\angle BXP = \angle CXQ$. (teorema del seno)
Sia $A'$ il riflesso di $A$ rispetto a $B$, allora $AA' = AC =32$. Sia $M$ il punto medio di $CA'$.
Quindi per (1) $\angle YCX = \angle YPX$, quindi $CPY$ è un isoscele, $CY = PY$ (2),
lo stesso $\angle YQX = \angle YBX$, quindi $QBY$ è un isoscele, $QY = BY$. (3)
A consecuenza da (2), (3) e BP=CQ abbiamo $\Delta CQY \cong \Delta PBY \rightarrow \angle YCQ =\angle YPB$.
Sia $h1, h2$ le altezze, uscente da $Y$, dei triangoli CQY y PBY, rispettivamente. $sin(\angle YCQ)*CY = sin(\angle YPB)*PY = h1 = h2$.
Allora $Y$ (e Z) è un punto sull'altezza, $AM$, del triangolo isoscele $AA'C$.
Con il teorema di Menelao, nel triangolo $BCA'$ e la trasversale $MZA$ abbiamo,