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Determina per quale valore di k la seguente funzione ha come dominio tutto R:

Y = sqrt[e^(-x) + e^(2 k) - sqrt(e)]

Il dominio della funzione si ottiene risolvendo rispetto a [math]x, la diseducazione
[math]e^{-x}+e^{2k}-\sqrt{e}\geq 0, da cui:
[math]e^{-x}\geq -e^{2k}+\sqrt{e}
A questo punto, è chiaro che il primo membro è sempre positivo: va quindi studiato il segno del secondo al variare di [math]k
[math]-e^{2k}+\sqrt{e}\geq 0
[math]\sqrt{e}\geq e^{2k}
[math]e^{\frac{1}{2}}\geq e^{2k}
[math]\frac{1}{2}\geq 2k
[math]k\leq \frac{1}{4}
• se [math]k< \frac{1}{4}
applichiamo il logaritmo naturale a entrambi i membri:
[math]\ln({e^{-x}}) \geq \ln ({-e^{2k}+\sqrt{e}})
[math]-x \geq \ln ({-e^{2k}+\sqrt{e}})
[math]x \leq \ln ({-e^{2k}+\sqrt{e}})
Cioè il dominio, al variare di [math]k\le \frac{1}{4} è [math]D(k)= ]-\infty ;\ln ({-e^{2k}+\sqrt{e}})]\not= R
•se [math]k\ge \frac{1}{4}
il primo membro della disequazione è sempre positivo, il secondo sempre negativo o nullo, per cui il dominio è tutto [math]R

Sei stato chiarissimo, grazie mille!