Dubbio problema febbraio/2017

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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matpro98
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Re: Dubbio problema febbraio/2017

Messaggio da matpro98 »

1) è "calato dal cielo", puoi trovare indizi su come ci si arriva nella soluzione, e facendo diversi esercizi di questo tipo dovresti riuscire a trovare questi polinomi autonomamente; quasi sempre vuoi costruire un polinomio che abbia radici in punti che in qualche modo ti piacciono
2) quando calcoli ad esempio $p(2)$, quello che fai è sostituire nel polinomio alla variabile $x$ il valore 2. Allo stesso modo, $p(\frac{1}{x})$ si ottiene sostituendo alla variabile il suo reciproco. Ora, $p(x)$ ha grado 42, quindi in $p(\frac{1}{x})$ avrai $\frac{1}{x^{42}},\frac{1}{x^{41}},\dots$ che si semplificano con il termine moltiplicativo $x^{42}$

Per il resto della soluzione non saprei cosa dirti ora, hai dubbi precisi?
fph
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Re: Dubbio problema febbraio/2017

Messaggio da fph »

Ci sono un po' di problemi e osservazioni "classici" su questo tipo di polinomi, e il problema sembrerà molto più abbordabile una volta che ne hai visti un paio. Per esempio, parti da questi:

1. Se $a(x)$ è un polinomio di grado $d$ con coefficienti $a_d, a_{d-1}, \dots, a_0$, quali sono i coefficienti di $b(x) = x^d a \left(\frac1x\right)$?
2. Se sai che un certo numero $\lambda$ è uno zero di $a(x)$, sei in grado di individuare uno zero di $b(x)$?
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math19
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Re: Dubbio problema febbraio/2017

Messaggio da math19 »

matpro98 ha scritto: 01 nov 2020, 01:43 1) è "calato dal cielo", puoi trovare indizi su come ci si arriva nella soluzione, e facendo diversi esercizi di questo tipo dovresti riuscire a trovare questi polinomi autonomamente; quasi sempre vuoi costruire un polinomio che abbia radici in punti che in qualche modo ti piacciono
Mmh okay, ora vedo se riesco a trarre qualche indizio nella soluzione...
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Re: Dubbio problema febbraio/2017

Messaggio da math19 »

fph ha scritto: 01 nov 2020, 10:06 Ci sono un po' di problemi e osservazioni "classici" su questo tipo di polinomi, e il problema sembrerà molto più abbordabile una volta che ne hai visti un paio. Per esempio, parti da questi:


Si questi sembrano un po' hard, ora provo a svolgere qualche problema piu' semplice magari presi da aops
fph ha scritto: 01 nov 2020, 10:06 1. Se $a(x)$ è un polinomio di grado $d$ con coefficienti $a_d, a_{d-1}, \dots, a_0$, quali sono i coefficienti di $b(x) = x^d a \left(\frac1x\right)$?
2. Se sai che un certo numero $\lambda$ è uno zero di $a(x)$, sei in grado di individuare uno zero di $b(x)$?
Ti ringrazio, ora provo a svolgerlo, in caso mando un mess qui....
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Re: Dubbio problema febbraio/2017

Messaggio da fph »

Poi continua con:

Un polinomio $a(x)$ si dice *palindromo* se la lista dei coefficienti $a_d, a_{d-1}, \dots, a_0$ è uguale alla stessa lista letta nell'ordine opposto, $a_0, a_{1}, \dots, a_d$.

3. Sia $\lambda\neq 0$ uno zero di un polinomio palindromo. Mostra che $\frac{1}{\lambda}$ è un altro zero dello stesso polinomio.
4. Sia $a(x)$ un polinomio, e considera la lista dei suoi zeri, $\lambda_1,\dots,\lambda_d$ (che supponiamo distinti per semplicità). È vero che se questa lista è "chiusa per inversi" (cioè, se $\lambda$ sta nella lista allora ci sta anche $\frac{1}{\lambda}$) allora $a$ è palindromo?
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Re: Dubbio problema febbraio/2017

Messaggio da matpro98 »

2) sì se sai che le radici sono razionali, ma non è detto, in generale; e comunque tu no conosci $a_0$ e $a_d$...
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Re: Dubbio problema febbraio/2017

Messaggio da fph »

mohta ha scritto: 01 nov 2020, 14:53 4) Non ho capito la consegna, in che senso lista?
Ops, corretto. Hai ragione, mancava un pezzo.

Riesci a scrivere le formule in Latex (usando i simboli di dollaro), così è più facile leggere e controllare se è corretto?
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Re: Dubbio problema febbraio/2017

Messaggio da fph »

mohta ha scritto: 01 nov 2020, 18:39 Perfetto ora provo, ma il numero 3 e' corretto?
Ti suggerivo di riscriverlo con sintassi Latex proprio perché fosse più facile correggerlo. :) Comunque, mi sembra di no. L'implicazione in fondo, "Dato che a_0=a_d allora 1/j e' una soluzione", non mi sembra valida; hai dimostrato che se j è soluzione allora valgono certe uguaglianze, ma il viceversa non deve per forza valere.
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Re: Dubbio problema febbraio/2017

Messaggio da fph »

Il problema è: perché $j^d a_d - j^d a_0 = 0$ ti "conferma" che quella è una soluzione? Quell'uguaglianza vale solo per le soluzioni? La tua dimostrazione *parte* da una soluzione e *arriva* a quella proprietà, ma quello che ti servirebbe qui è il ragionamento nel verso opposto: *parti* sapendo quella proprietà, e vuoi *arrivare* a concludere che $j$ è una soluzione.
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Re: Dubbio problema febbraio/2017

Messaggio da fph »

Ma se $a_d j^d+a_{d-1} j^{d-1}+\dots + a_0$ fosse uguale a 5 anziché a 0, cosa cambierebbe nella tua soluzione?
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Re: Dubbio problema febbraio/2017

Messaggio da fph »

No, non sto dicendo $a_0=5$. Supponi di avere un polinomio palindromo, per esempio $x^2+3x+1$, e un valore di $\lambda=j$ per cui $\lambda^2+3\lambda+1 = 5$. Puoi ancora sottrarre membro a membro come fai nella tua dimostrazione e ottenere $1^2(a_2-a_0)=0$, giusto?
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Re: Dubbio problema febbraio/2017

Messaggio da fph »

Sì, esatto. Il punto è che quando sottrai membro a membro ottieni una cosa che è zero sempre, non solo quando $j$ è una soluzione. Per la precisione, il passaggio che non funziona nella tua dimostrazione è in fondo, quando da cosa=0 cerchi di concludere che $j$ è una soluzione.
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