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Tor vergata meno old

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Tor vergata meno old

Inviato: 19 nov 2020, 10:51
da razorbeard
Per un certo polinomio $P$ vale la seguente proprietà : $P(n + 2) + P(n) = n^4 + 2$ per ogni intero positivo $n$. Quanto vale $P(10)$?

Re: Tor vergata meno old

Inviato: 22 nov 2020, 21:07
da Maionsss
Quanto deve valere il grado di $P$ ? Una volta capito quello sistemi i coefficienti ricordandoti del principio di identitá

Re: Tor vergata meno old

Inviato: 22 nov 2020, 21:29
da matpro98
puoi capirlo da te

Re: Tor vergata meno old

Inviato: 26 nov 2020, 17:10
da razorbeard
In che modo? Avevo iniziato impostando dei sistemi con $P(1)$,$P(2)$, ecc... ma poi mi sono arenato

Re: Tor vergata meno old

Inviato: 26 nov 2020, 20:25
da matpro98
cosa succede al grado del polinomio al primo membro? e al secondo membro? cosa concludi?

Re: Tor vergata meno old

Inviato: 26 nov 2020, 20:27
da Fede:)
Non so se sia giusta perché non ho usato il fatto che n è un intero positivo.
Testo nascosto:
[math] , mettendo nella condizione del testo e considerando i termini di grado massimo ottengo [math] quindi per il principio di identità tra polinomi ho [math] quindi [math] e [math] quindi il polinomio ha grado 4 e coefficiente direttore 1/2.
Considero ora i termini noti [math] da cui [math]. Ma il termine noto c è uguale a [math] quindi partendo da [math] con un po' di conti arrivo a [math].

Re: Tor vergata meno old

Inviato: 27 nov 2020, 13:29
da matpro98
beh, hai usato quell'ipotesi (con il "per ogni" davanti) quando hai applicato il principio di identità :wink: direi che va bene come soluzione

Re: Tor vergata meno old

Inviato: 27 nov 2020, 16:28
da fph
Il passaggio delicato, insomma, è questo: se due polinomi $P(x)$ e $Q(x)$ assumono valori uguali quando vengono valutati in un numero infinito di valori (per esempio, appunto, $n=1,2,3,\dots$), allora sono uguali coefficiente per coefficiente. In una gara a squadre non serve scriverlo, ma è utile comunque avere in testa che sta succedendo, specialmente per rispondersi alla domanda "dove sto usando questa ipotesi sugli interi positivi".

Re: Tor vergata meno old

Inviato: 15 mag 2021, 20:22
da Gottinger95
Potrebbe infatti sembrarti che tu abbia usato solo l'ipotesi per $n=0,2,4,6,8$, ma l'hai usata per tutti gli $n$ (come ti fa notare fph)! Infatti...
Testo nascosto:
Considera un polinomio $R(x)$ che fa $+43$ su $0,4,8$ e $-43$ su $2,6,10$. In particolare, $R(n)+R(n+2) = 0$ per $n=0,2,4,6,8$. Ora il polinomio $ Q(x) = P(x) +R(x)$ avrà la proprietà che $$[Q(n) + Q(n+2) ] = [P(n) + P(n+2) ]+[R(n)+R(n+2)] = [P(n)+P(n+2)] = n^4+2$$
per ogni $n=0,2,4,6,8$, ma $$ Q(10) = P(10) + R(10) = P(10)-43 $$
dà un risultato diverso!! Quindi sì, anche se non te ne sei accorta hai usato eccome l'ipotesi per tutti gli $n$ :D
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