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volevo sapere la definizione esatta di figura costruibile con riga e compasso. Ad esempio la costruzione del triangolo equilatero dato il lato è una costruzione con riga e compasso? "DOPO" ogni apertura il compasso va chiuso?

1. Hai visto https://it.wikipedia.org/wiki/Costruzio ... e_compasso ? Questa definizione ti lascia dei dubbi?
2. Se ho capito quello che intendi, è la stessa cosa; c'è una costruzione che ti permette di "trasportare segmenti" anche con un compasso che si chiude dopo essere stato usato: https://en.wikipedia.org/wiki/Compass_e ... ce_theorem .

Allora l'ettagono non è costruibile con riga e compasso. Come faccio a capirlo? In che senso la costruzione dell'ettagono è approssimata rispetto a quella del triangolo equilatero che è costruibile con riga e compasso?

"Come faccio a capirlo": non è semplice, ci è voluto Gauss per risolvere completamente questo problema. Ed è un problema di algebra (astratta/universitaria, per la precisione estensioni di campi), non di geometria.
Sostanzialmente l'idea che c'è dietro è che la lunghezza del lato di un ettagono regolare in funzione del raggio è un'espressione che contiene una radice cubica. Invece se ragioni in geometria analitica ti rendi conto che tutti gli 'oggetti' che riesci a costruire con riga e compasso hanno lunghezze rappresentate da espressioni che contengono solo somme, sottrazioni, prodotti, divisioni, e radici quadrate.

Quello che è facile da fare è dimostrare che la costruzione del triangolo equilatero funziona, cioè che costruisce davvero un triangolo con tre lati uguali. La stessa dimostrazione non si può fare per la costruzione dell'ettagono: difatti costruisce qualcosa di molto vicino a un ettagono, ma i lati non sono *esattamente* uguali: costruiscono un numero che è molto vicino a quello vero, ma è rappresentato da un'espressione fatta solo da operazioni "concesse". Di solito ti presentano le varie costruzioni come algoritmi, senza dimostrare che funzionano, ma è proprio questo il punto che distingue quelle esatte da quelle approssimate.