CGO - Problemi

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Mattysal
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CGO - Problemi

Messaggio da Mattysal »

Problema 1:
Sia $ABCD$ un quadrato e $E$ un punto sul segmento $BD$. Detti $O_1, O_2$ i circocentri di $ABE$ e $ADE$ rispettivamente, dimostrare che $AO_1EO_2$ è un quadrato.

Problema 2:
Sia $ABC$ un triangolo acutangolo scaleno e $P$ la proiezione di $B$ sull'asse di $AC$. Sia $M$ il punto medio di $BC$ e $Q$ l'intersezione tra $AB$ e $PM$. Dimostrare che il triangolo $BPQ$ è isoscele.

Problema 3:
Sia $ABC$ un triangolo tale che $AB=AC$ e sia $D$ un punto su $BC$ tale che $BD=2DC$. Sia $E$ un punto sul segmento $AD$ tale che $\angle{BED}=\angle{BAC}$. Dimostrare che $\angle{BED}=2\angle{DEC}$.

Problema 4:
Sia $ABC$ un triangolo acutangolo scaleno. Siano $E, F$ rispettivamente i piedi delle altezze uscenti da $B$ e $C$. Sia $\Gamma$ la circonferenza circoscritta al triangolo $AEF$. La tangente a $\Gamma$ in $E$ interseca $AB$ in $P$ e la tangente a $\Gamma$ in $F$ interseca $AC$ in $Q$. Dimostrare che la seconda intersezione tra $\Gamma$ e la circonferenza circoscritta al triangolo $APQ$ giace sulla retta di Eulero del triangolo $ABC$.

A presto per il Day2 e buon divertimento! 8)
ricarlos
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Iscritto il: 28 ott 2017, 02:11

Re: CGO - Problemi

Messaggio da ricarlos »

Mattysal ha scritto: 28 dic 2020, 22:22
Problema 3:
Sia $ABC$ un triangolo tale che $AB=AC$ e sia $D$ un punto su $BC$ tale che $BD=2DC$. Sia $E$ un punto sul segmento $AD$ tale che $\angle{BED}=\angle{BAC}$. Dimostrare che $\angle{BED}=2\angle{DEC}$.
Testo nascosto:
Sia $P$ un punto su $AD$ tale che $\Delta ABC \sim \Delta EBP$(1) allora $\angle APB = \angle ACB$ quindi $ ABPC $ è ciclico.
Sia $M$ il punto medio di $PB$.
Per ABPC ciclico e (1) abbiamo $\angle ABC = \angle APC = \angle EBP =\angle EPB$ quindi $PE$ è la bisettrice di $\angle BPC$.
Per il teorema della bisettrice $\frac {BP} {PC} = \frac {BD} {CD} = 2 \rightarrow 2PC = BP \rightarrow PC = PM$.
Quindi $MPC$ è isoscele e $MC \perp PE \rightarrow EM = EC \rightarrow \Delta EMP \cong \Delta ECP$.
$\angle BEM = \angle MEP = \angle PEC \rightarrow \angle BED =2\angle DEC$.
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