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Qualcuno sa indicarmi in dettaglio tutti i passaggi necessari per dimostrare che la prima espressione è uguale alla seconda (vedere allegato)?
Grazie

Partendo dalla seconda equazione
[math]2\sqrt{3}+4=\sqrt{(2\sqrt{3}+4)^2}=\sqrt{12+16+16\sqrt{3}}=\sqrt{16\sqrt{3}+28}
Altrimenti, partendo dalla prima
[math]\sqrt{16\sqrt{3}+28}=\sqrt{4(4\sqrt{3}+7)}=2\sqrt{4\sqrt{3}+7}
Dobbiamo trovare due numeri a e b tali che [math](a+b)^2=4\sqrt{3}+7. Consideriamo [math]2ab=4\sqrt{3} \Rightarrow ab=2\sqrt{3} e [math]a^2+b^2=7, allora è intuitivo che i due numeri possono essere [math]2 e [math]\sqrt{3}, infatti [math](2+\sqrt{3})^2=2^2+(\sqrt{3})^2+2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}=7+4\sqrt{3}. Continuando quindi abbiamo:
[math]2\sqrt{4\sqrt{3}+7}=2\sqrt{(2+\sqrt{3})^2}=2(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+4
Spero di essere stato d'aiuto.

Grazie per la tua cortese risposta !!!!
Sarà per la mia scarsa preparazione, ma mi sono perso dopo la seconda riga.
Non ho capito come e perché hai inserito nella spiegazione il concetto di (a+b)^2 = 4 * radice di 3 + 7 ( a proposito come si fa a scrivere così bene le espressioni con le radici su questo post?).
Mi piacerebbe capire come semplificheresti la prima espressione del mio allegato, arrivando al risultato finale "2 * radice di 3 + 4" senza sapere di dover arrivare a tale risultato.
Se sto abusando della tua cortesia, scusami.

Abbiamo un binomio che dobbiamo cercare di togliere dalla radice, dobbiamo trovare un valore di cui [math]4 \sqrt{3}+7 sia il quadrato. Chiaramente, questo binomio non può essere il quadrato né di un numero razionale (perché il quadrato di un numero razionale sarà un altro numero razionale), né il quadrato di un radicale (questo lo si vede chiaramente). Allora possiamo provare a trovare un altro binomio il cui quadrato sia [math]4 \sqrt{3}+7. Una soluzione il cui metodo è più intuitivo che teorico l'ho data nel commento precedente.

Una formula più rapida (che ieri avevo completamente dimenticato) è quella del cosiddetto radicale doppio, per cui [math]\sqrt{a\pm \sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}. In questo problema in particolare basta considerare [math]a=7 e [math]\sqrt{b}=4\sqrt{3}=\sqrt{3 \cdot 4^2}=\sqrt{48} \Rightarrow b=48. Risolviamo a questo punto la formula:
[math]2\sqrt{4\sqrt{3}+7 }=2\sqrt{7 + \sqrt{48}}=
[math]=2\left( \sqrt{\frac{7+\sqrt{7^2-48}}{2}} + \sqrt{\frac{7-\sqrt{7^2-48}}{2}} \right)=
[math]=2 \left(\sqrt{4}+\sqrt{3} \right)=2 \left(2+\sqrt{3} \right)=4+2\sqrt{3}

Per scrivere le cose con questo formato bello basta che clicchi su "editor completo" e clicchi sul pulsante con scritto latex o tex (non ho ben capito la differenza in verità) e scrivi la tua espressione all'interno dei due comandi. Su questo argomento c'è un'intera parte del forum dedicata. Per i comandi più semplici, io li ho imparati sulla pagina Wikipedia su questo argomento, ma sono sicuro che anche su altri siti ci siano. Basta un po' di allenamento e poi te le ricorderai.

Grazie per l'aiuto.

Non ho capito come e perché hai inserito nella spiegazione il concetto di (a+b)^2 = 4 * radice di 3 + 7 ( a proposito come si fa a scrivere così bene le espressioni con le radici su questo post?).