Cese2021/2 generalizzato feat. Datte

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
Rispondi
Mattysal
Messaggi: 254
Iscritto il: 06 feb 2018, 14:54
Località: Torino
Contatta:

Cese2021/2 generalizzato feat. Datte

Messaggio da Mattysal »

Sia $ABC$ un triangolo e $P$ un punto interno. Detti $D, E$ i simmetrici di $P$ rispetto ad $AB, AC$ supponiamo che le circonferenze circoscritte ai triangoli $BPD$ e $CPE$ siano tra di loro tangenti.
Determinare il luogo di $P$.
emmeci
Messaggi: 25
Iscritto il: 13 ago 2020, 10:21

Re: Cese2021/2 generalizzato feat. Datte

Messaggio da emmeci »

Credo di aver indovinato la risposta, ma indovinare non è dimostrare. La mando comunque perché può forse aiutare altri.

Un punto del luogo è B; infatti quando P coincide con B la circonferenza circoscritta a BPD ha raggio nullo ed è quindi tangente in B a quella circoscritta a PCE. Analogamente, anche C è un punto del luogo.
Un terzo punto del luogo è l'incentro I di ABC; infatti tracciata per I la parallela a BC, si dimostra facilmente che le sue intersezioni con i lati sono i centri delle due circonferenze in esame e che queste sono fra loro tangenti.
La sede in cui è posto il quesito fa supporre che il luogo sia dato da rette o circonferenze; è perciò probabile che il luogo sia un arco della circonferenza circoscritta a BCI. A meno che la generalizzazione dia una risposta decisamente più complicata del problema là proposto.
ricarlos
Messaggi: 40
Iscritto il: 28 ott 2017, 02:11

Re: Cese2021/2 generalizzato feat. Datte

Messaggio da ricarlos »

Puoi trovare una risposta qui sotto, ma è in spagnolo.

https://ibb.co/XXBWhCM
emmeci
Messaggi: 25
Iscritto il: 13 ago 2020, 10:21

Re: Cese2021/2 generalizzato feat. Datte

Messaggio da emmeci »

Grazie mille a ricarlos; nel leggerla non ho avuto difficoltà con lo spagnolo (abbastanza simile all'italiano) ma con la piccolezza dei caratteri. Mi fa piacere aver indovinato la giusta soluzione.
Avatar utente
ghilu
Messaggi: 187
Iscritto il: 06 gen 2008, 18:14
Località: bergamo

Re: Cese2021/2 generalizzato feat. Datte

Messaggio da ghilu »

ricarlos ha scritto: 22 mag 2021, 13:33 Puoi trovare una risposta qui sotto, ma è in spagnolo.

https://ibb.co/XXBWhCM
Aggiungo una piccolezza (ma nelle gare è importante non dimenticarselo!)
In teoria sarebbe da dimostrare anche la proposizione inversa, per determinare il luogo.
Ovvero, hai dimostrato che, se P ha la proprietà richiesta, allora giace su quell'arco.
Per completare la determinazione del luogo, andrebbe anche argomentato che:
dato un qualsiasi punto P giacente su quell'arco, esso possiede la proprietà richesta dall'esercizio.
Comunque, tal cosa è facile (basta ripercorrere all'indietro certi tuoi ragionamenti)
Non si smette mai di imparare.
ricarlos
Messaggi: 40
Iscritto il: 28 ott 2017, 02:11

Re: Cese2021/2 generalizzato feat. Datte

Messaggio da ricarlos »

ghilu ha scritto: 25 mag 2021, 08:29
Aggiungo una piccolezza (ma nelle gare è importante non dimenticarselo!)
In teoria sarebbe da dimostrare anche la proposizione inversa, per determinare il luogo.
Ovvero, hai dimostrato che, se P ha la proprietà richiesta, allora giace su quell'arco.
Per completare la determinazione del luogo, andrebbe anche argomentato che:
dato un qualsiasi punto P giacente su quell'arco, esso possiede la proprietà richesta dall'esercizio.
Comunque, tal cosa è facile (basta ripercorrere all'indietro certi tuoi ragionamenti)
Grazie per il vostro consiglio. Saluti
Rispondi