OliForum Matematico

Sia [math]ABC un triangolo con [math]\hat A=60^\circ e tale che le lunghezze dei suoi lati sono numeri interi.

Dimostrare che

[math] \overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CA} \mid 3 \overline{AB} \cdot \overline{AC}

(ovvero che il perimetro divide l'area moltiplicata per [math]\sqrt {48})

Posto $AB=c; AC=b; BC=a$, per il teorema di Carnot si ha
$a^2=b^2+c^2-2bc \cos \hat A$
e poichè $\cos \hat A= \frac 1 2$
$a^2=b^2+c^2-bc$

$a^2=(b+c)^2-3bc$

$3bc=(b+c)^2-a^2$

$3bc=(b+c+a)(b+c-a)$
che dimostra la tesi.