OliForum Matematico

Giuseppe Peano
Aritmetica generale e algebra elementare

E' data come esercizio e la dimostrazione è prevista, nel programma di Giuseppe Peano (1902) , per il secondo anno di scuola superiore (IV Ginnasio)

Ecco la proposizione

P 33.6
x,y sono in R (classe numeri razionali positivi)
x-=y (x diverso da y)
m,n sono in N1 (classe dei numeri naturali: 1, 2, ..., n, ...)
si deduce che

x^my^n < [(mx+ny)/(m+n)]^(m+n)

x elevato a m moltiplicato y elevato a n è minore di ....
^ = elevato a
No per induzione, ammesso che sia possibile

Uniche conoscenze necessarie sono: le classi No, N1, n (numeri relativi, positivi e negativi), R (numeri razionali positivi) e le operazioni su di esse definite: +, x, -, /, ^, null'altro.

Grandi complimenti a chi darà la soluzione

Roberto Silvestro

Basta osservare che la media aritmetica è maggiore della media geometrica..

Concetti, media aritmetica e media geometrica, che non c'entrano alcunché con la proposizione di cui si chiede la dimostrazione

Peraltro, questa è una proposizione da dimostrare non un tema di italiano

Ah no?

sulla proposizione da dimostrare non si può operare per la radice: la radice ennesima non è stata definita fino alla proposizione 33.6, così come non sono state definite la classe dei numeri reali e la classe dei razionali negativi.

Le rimetto le uniche cose definite fino alla proposizione 33.6 e di cui si può far uso:

Uniche conoscenze che si possono utilizzare: le classi No, N1, n (numeri relativi, positivi e negativi), R (numeri razionali positivi) e le operazioni su di esse definite: +, x, -, /, ^ con le relative proprietà. La sottrazione in R, a-b, è tra b appartenente a R e a appartenente a b+R; null'altro (non esistono radici, logaritmi, razionali negativi, analisi matematica, reali, etc etc etc).

La dimostrazione della disuguaglianza tra media geometrica e aritmetica (realizzabile in diversi modi, tra cui l'induzione) richiede "cose" non ancora definite fino alla proposizione 33.6 (radici o logaritmi o analisi matematica).

Mi dispiace ma quanto scritto purtroppo non è la dimostrazione che si cerca; credo sia difficile - io, al momento, non ce l'ho - anche se prevista per ragazzi di 15 anni circa perché si basa solo su + x - / ^.