OliForum Matematico

Salve , è il mio primo accesso e spero di essere in tema con il forum.
ho trovato questo esercizio online ma non mi trovo con la soluzione indicata.

Quanti sono i numeri di 6 cifre che non contengono 0, hanno la cifra 1 per 2 volte e la cifra 2 per 2 volte? (8820)
vi propongo il mio svolgimento. dove sbaglio?

Ciao! Chi ti ha dato la soluzione? E' sbagliata!!

Però ho una brutta notizia.. è sbagliata anche la tua!
Ecco dov'è il tuo errore. Quante volte stai contando il numero 112276? Te lo dico io: due volte. Infatti, quando scegli chi mettere in $x,y$ stai contando sia $(x,y) = (7,6)$ che $(x,y) = (6,7)$. Quando conti le permutazioni con ripetizione, puoi scambiare la x e la y. Come risultato, conterai 112276 quando scegli $x=7, y=6$ e non permuti, e anche quando scegli $x=6,y=7$ e poi li scambi.

Ecco come puoi evitare questo cosiddetto overcounting. Immaginati che le due cifre nuove sono nascoste, come fossero delle carte coperte, e indichiamo una cifra nascosta con # (il retro della carta). Anzitutto scegli una permutazione di $1122\#\#$ con ripetizione in $\frac{6!}{2! 2! 2!} = 90$ modi. Ora che hai scelto il pattern tra 1, 2 e cifre nascoste, puoi scegliere cosa mettere "dietro" ai # in $7^2=49$ modi. Nel complesso avrai $90 \times 49 = 4410$ numeri con questa proprietà!

P.S. Per scrupolo, visto che avevi ricevuto una soluzione "ufficiale", ho scritto anche un programmino che conta i numeri con questa proprietà, e torna con 4410! Io mi potrei sbagliare, ma il computer è più difficile...

Grazie della risposta