integrabilità, funzioni lipschitziane
Inviato: 14 lug 2022, 15:06
Ciao a tutti, ho appena iniziato lo studio degli integrali e mi sono imbattuto in questo teorema:
"Sia [math] localmente lipschitziana; se [math] è R-integrabile su [a,b], anche [math] è R-integrabile su [a,b]".
Riporto anche la dimostrazione.
"Se [math] è R-integrabile su [math], in particolare è limitata su [a,b] e quindi [math] è lipschitziana sull'intervallo compatto [math]. Inoltre, per ogni [math] esiste una suddivisione [math] dell'intervallo [math] tale che [math]. Dove [math] è l'oscillazione della funzione [math] su [math] .
Sia ora [math]
È immediato vedere che, se [math] è una costante di Lipschitz per [math] su [math], si ha
[math]
Per cui si ha [math], il che mostra che [math] è integrabile su [math].
Quello che non mi è chiaro è come si fa ad ottenere questa disuguaglianza:
[math]
"Sia [math] localmente lipschitziana; se [math] è R-integrabile su [a,b], anche [math] è R-integrabile su [a,b]".
Riporto anche la dimostrazione.
"Se [math] è R-integrabile su [math], in particolare è limitata su [a,b] e quindi [math] è lipschitziana sull'intervallo compatto [math]. Inoltre, per ogni [math] esiste una suddivisione [math] dell'intervallo [math] tale che [math]. Dove [math] è l'oscillazione della funzione [math] su [math] .
Sia ora [math]
È immediato vedere che, se [math] è una costante di Lipschitz per [math] su [math], si ha
[math]
Per cui si ha [math], il che mostra che [math] è integrabile su [math].
Quello che non mi è chiaro è come si fa ad ottenere questa disuguaglianza:
[math]