Disuguaglianze

[Simo_the_wolf]

Ecco un pò di esercizi per gli amanti delle disuguaglianze:
<BR>
<BR>1) a,b,c reali positivi
<BR>
<BR>(b+c-a)²/[(b+c)²+a²]+(a+c-b)²/[(a+c)²+b²]+(a+b-c)²//[(a+b)²+c²]>=3/5
<BR>
<BR>2) a,b,c reali positivi
<BR>
<BR>(1+a/b)(1+b/c)(1+c/a)>=2[1+(a+b+c)/cbcr(abc)]
<BR>
<BR>cbcr= cubic root= radice cubica
<BR>

[talpuz]

il primo si risolve \"facilmente\", dopo le dovute semplificazioni, con un mare di conti, espandendo il tutto sotto forma di somma simmetrica e applicando schur + raggruppamento
<BR>(anche se è probabile che ci sia una soluzione più carina)<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 16-03-2004 19:06 ]

[talpuz]

idem per la seconda, dopo aver posto a=x³,b=y³,c=z³ per togliersi di torno la radice cubica, dopo aver fatto denominatore comune e le dovute semplificazioni salta fuori
<BR>sum_sym[x⁶y³]>=sum_sym[x⁵y²z²]
<BR>che è vera per la disuguaglianza di raggruppamento
<BR>
<BR>lascio a qualche volenteroso il compito di trovare strade meno brutali <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 16-03-2004 21:07 ]

[J4Ck202]

Riconosco la prima Made in Japan..
<BR>Credo sia una di quelle disuguaglianze che rispondono al motto
<BR>\"bunching is your only way\" - \"if you dislike taking partial derivatives\"
<BR>
<BR>La cosa curiosa è che se la funzione f(x) = (k-2x)^2 / (x^2 + (k-x)^2)
<BR>fosse convessa in [0,k] Jensen farebbe magicamente saltar fuori quel
<BR>3/5.. (previa sostituzione k=a+b+c) Peccato davvero che quella funzione
<BR>abbia dei flessi in punti sgradevoli..
<BR>
<BR>

[J4Ck202]

Ok, ribattiamo con qualcosa di simpatico..
<BR>
<BR>x,y,z positivi
<BR>
<BR>32xyz(x+y+z)[x²+y²+z²+xy+xz+yz] <= 9 (x+y)²(x+z)²(y+z)²
<BR>
<BR>E niente bunching, per favore..
<BR>
<BR>

[talpuz]

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-03-18 15:34, J4Ck202 wrote:
<BR>
<BR>E niente bunching, per favore..
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>mi sento alquanto mutilato... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 18-03-2004 19:06 ]

[talpuz]

up!

[J4Ck202]

Up!

[Antimateria]

Down!

[EvaristeG]

Mmm per una volta, pur trattandosi di disuguaglianze (e non di geometria ? )
<BR>
<BR>UP!
<BR>
<BR>(dai che vi ho aiutato)

[mario86x]

UP!
<BR>non ce la faccio <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">

[psion_metacreativo]

con un po si conti e qualche cambio di variabile sono arrivato a stabilire che la disuguglianza di Jack è equivalente a:
<BR>
<BR>4/9 ac*(8a^2 +b)<= (ab+c)^2
<BR>
<BR>con a,b,c >0.
<BR>
<BR>Ovviamente come sempre non riesco a concludere passo la palla a voi per vedere se la risolvete.

[ma_go]

io l\'ho \"ridotta\" a sen²A + sen²B + sen²C <= 9/4, con A+B+C = pi.
<BR>e mi pare quasi ovvia, ma non riesco a venirne fuori...
<BR>anyway, thanks to evaristeg.

[talpuz]

jensen concavo
<BR>
<BR>(sen²A+sen²B+sen²C)/3 <= sen²[(A+B+C)/3] = sen²(pi/3) = 3/4
<BR>
<BR>adesso però spiega come sei arrivato a quella lì <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 28-03-2004 21:21 ]
<BR>
<BR>okay peccato che se f(x)=sen²(x)
<BR>f\'\'(x)=2cos(2x) che non è < 0 in [0;pi] <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">
<BR>
<BR>nulla di fatto
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 28-03-2004 21:25 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 28-03-2004 21:26 ]

[talpuz]

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-03-28 21:20, talpuz wrote:
<BR>adesso però spiega come sei arrivato a quella lì
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>(per favore)