arcoseno di un quoziente

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Paincarré
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Iscritto il: 10 giu 2017, 01:18

arcoseno di un quoziente

Messaggio da Paincarré »

La trigonometria non è solo quella dei libri di testo.
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emmeci
Messaggi: 25
Iscritto il: 13 ago 2020, 10:21

Re: arcoseno di un quoziente

Messaggio da emmeci »

Veramente ricordo che qualche raro libro di testo riportava la formula per la differenza di due arcoseni; comunque non la uso. Risolvo il primo dei due esercizi proposti; il secondo può essere svolto nello stesso modo.

Precisazione
L'uso della lettera $ n $ fa pensare che si tratti di un numero naturale; poiché $ n=0 $ è escluso dall'annullarsi di qualche denominatore, ne consegue [math]. Questa interpretazione è confermata dal fatto che per $ n=-1 $ la formula diventa
$ arcsin(-a)=arcsin(-a)-arcsin(2a \sqrt{1-a^2}) $
che non è un'identità.

Soluzione
Indicando con $ \alpha,\beta $ i due arcoseni a secondo membro, si ha
$ sin \alpha= $$ \frac {an} {\sqrt{a^2n^2+n^2-a^2}} $
$ sin \beta= $$ \frac {a(n-1)\sqrt{n^2-a^2}} {n \sqrt{a^2n^2+n^2-a^2}} $
con $ -\frac \pi 2 \le \alpha,\beta \le \frac \pi 2 $. Da queste limitazioni si deduce $ -\pi \le \alpha-\beta \le \pi $ (che userò verso la fine); inoltre garantiscono garantiscono che i coseni sono positivi e quindi si ha
$ cos \alpha=\sqrt{1-sin^2 \alpha}=...= $$ \frac {\sqrt{n^2-a^2}} {\sqrt{a^2n^2+n^2-a^2}} $
$ cos \beta=\sqrt{1-sin^2 \beta}=...= $$ \frac {a^2n-a^2+n^2} {n\sqrt{a^2n^2+n^2-a^2}} $
Il numeratore dell'ultima frazione è positivo, come si vede scrivendolo nella forma $ a^2(n-1)+n^2 $e ricordando che $ n \ge 1 $; per questo si può omettere il segno di valore assoluto che deriverebbe dall'estrazione di radice.
Seno e coseno del secondo membro sono quindi dati da
$ sin(\alpha-\beta)=sin \alpha cos \beta-cos \alpha sin \beta=...=\frac a n $
$ cos(\alpha-\beta)=cos \alpha cos \beta+sin \alpha sin \beta=...=\frac {\sqrt{n^2-a^2}} n $
e coincidono con quelli del primo membro; inoltre i due membri differiscono per meno di un angolo giro, essendo compresi rispettivamente in $ (-\frac \pi 2, \frac \pi 2) $ e $ (-\pi,\pi) $. Ne consegue che sono uguali.
Nota: formula e dimostrazione valgono anche se n non è naturale purché, oltre alla condizioni del CE, sia rispettata la $ n>0 $
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