Problema ammissione scuola Sant'Anna

[Utente123]

Salve a tutti.
Ho provato a risolvere un quesito tratto dall'ammissione alla scuola Sant'Anna di Pisa, ma non sono sicuro sia totalmente corretto. Il testo è questo:
Trovare le soluzioni intere alla seguente equazione: x⁴+3x²y²+9y⁴ = 12²⁰⁰⁶.
Ho provato a risolverlo ponendo alternativamente x e y = 0, e poi x=y, visto che se li pongo x≠y ottengo una radice. Ho trovato una sola soluzione, che sarebbe (0, 3⁵⁰¹x2¹⁰⁰³).
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto!

[Stef2008]

@Utente123. Suppuniamo [math]x,y≠0. Guardando modulo 3 ottengo [math]3|x. Poniamo [math]3x_1=x. Sostituendo Abbiamo l'equazione $ 81x^3_1+27x^2_1y^2+9y^4=3^{2006}×4^{2006} $. Semplificando per nove si ottiene un equazione analoga a quella di prima in cui l'esponente del tre è diminuto di 2. Ripetendo più volte il processo si ottine un equazione del tipo: [math]a^4+3a^2b^2+9b^4= 4^{2006}. Notiamo ora che [math]2|x \implies 2|y. Se invece 2 non divide nè x nè y allora il membro sinistro è dispari (assurdo). Quindi 2 divide sia x che y. Possiamo semplificare per 16. Ripetendo il processo si ottiene un'equazione del tipo [math]A^4+3A^2B^2+9A^4= 1, che non ha soluzioni dall'ipotesi [math]x,y \neq 0. Quindi uno tra x e y è uguale a 0. Notando che [math]12^{2006} non è una potenza quarta quella diversa da 0 è y. Da cui la tua soluzione.

Se non hai confidenza con la teoria dei numeri e l'aritmetica modulare posso consigliarti qualche libro (se vuoi)

Nota 1: una soluzione come la tua in un concorso dove non si valuta solo il risultato ma anche il processo usato per ottenerlo non otterrebbe un buon punteggio.

Nota 2: La soluzione che ho scritta è fatta di getto. Inoltre non avendo un computer a disposizione al momento, ho dovuto scrivere con un telefono. Quindi ho minimizzato il numero di parole perchè è molto scomodo. Non essendomi dilungato molto puoi chiedere delucidazioni se necessario

[Stef2008]

Nota 1: una soluzione come la tua in un concorso dove non si valuta solo il risultato ma anche il processo usato per ottenerlo non otterrebbe un buon punteggio.

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@Utente123, chiedo scusa per la Nota 1 che può risultare brusca. Questa vuole solo essere un consiglio. Ribadisco che se avessi bisogno di chiarimenti sulla soluzione puoi chiederli .

PS: Forse il problema è che non ho letto la tua soluzione completa (Quella che hai scritto è solo uno schema risolutivo?). Come hai ottenuto [math]x \neq y \implies x,y
\text{ non sono razionali} ? O la tua affermazione equvalente: sono delle radici. Magari la tua soluzione è pure corretta.

[Utente123]

Nota 1: una soluzione come la tua in un concorso dove non si valuta solo il risultato ma anche il processo usato per ottenerlo non otterrebbe un buon punteggio.

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@Utente123, chiedo scusa per la Nota 1 che può risultare brusca. Questa vuole solo essere un consiglio. Ribadisco che se avessi bisogno di chiarimenti sulla soluzione puoi chiederli .

PS: Forse il problema è che non ho letto la tua soluzione completa (Quella che hai scritto è solo uno schema risolutivo?). Come hai ottenuto [math]x \neq y \implies x,y
\text{ non sono razionali} ? O la tua affermazione equvalente: sono delle radici. Magari la tua soluzione è pure corretta.

Ciao, come hai immaginato quello che ho riportato è solo un "riassunto" delle mie soluzioni. Ponendo x≠y ed operando una serie di sostituzioni dall'equazione iniziale, ottengo che (x+√(3)y )(x-√(3)y) = 12¹⁰⁰³, che non è possibile ottenere con x, y appartenenti a N.

[Stef2008]

Nota 1: una soluzione come la tua in un concorso dove non si valuta solo il risultato ma anche il processo usato per ottenerlo non otterrebbe un buon punteggio.

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@Utente123, chiedo scusa per la Nota 1 che può risultare brusca. Questa vuole solo essere un consiglio. Ribadisco che se avessi bisogno di chiarimenti sulla soluzione puoi chiederli .

PS: Forse il problema è che non ho letto la tua soluzione completa (Quella che hai scritto è solo uno schema risolutivo?). Come hai ottenuto [math]x \neq y \implies x,y
\text{ non sono razionali} ? O la tua affermazione equvalente: sono delle radici. Magari la tua soluzione è pure corretta.

Ciao, come hai immaginato quello che ho riportato è solo un "riassunto" delle mie soluzioni. Ponendo x≠y ed operando una serie di sostituzioni dall'equazione iniziale, ottengo che (x+√(3)y )(x-√(3)y) = 12¹⁰⁰³, che non è possibile ottenere con x, y appartenenti a N.

Va bene. Il tuo risultato nel primo post è corretto. Per sapere se lo è anche il procedimento ho bisogno della soluzione completa (ma forse ti interesseva più che altro sapere le soluzioni dell'equazione).

[Stef2008]

@utente123. Stavo leggendo una risposta. Ma è sparita. È un problema del mio dispositivo? O l'hai cancellata?

[Stef2008]

Comunque credo ci sia un errore: $ (x+√(3)y )(x-√(3)y) = 12¹⁰⁰³ \implies (x+√(3)y )^2(x-√(3)y)^2 = 12^{2006} \implies x^4 - 6 x^2 y^2 + 9 y^4=12^{2006} $, che non equivale ell'equazione iniziale.