Salve a tutti,
Ho cercato la soluzione all'esercizio 4 della prova di ammissione a matematica della SNS per l'anno accademico 2021-2022, che è il seguente:
Determinare le soluzioni reali dell'equazione (x^3 + 1)^3 = 8(2x - 1)
Non riuscendo a trovare un metodo per trovare le soluzioni esatte ho cercato di determinare che non esistono soluzioni reali studiando le funzioni f(x) = (x^3 + 1)^3 e g(x) = 8(2x - 1) ma ho scoperto che esistono 3 soluzioni reali e ho determinato gli intervalli a cui appartengono. Qualcuno sarebbe in grado di risolvere questo problema?
Grazie mille in anticipo.
SNS Esercizio 4 2021
Re: SNS Esercizio 4 2021
Ciao, appena posso scrivo la mia soluzione...
Re: SNS Esercizio 4 2021
Poniamo $y^3=2x-1$ (osserviamo che in campo reale tale sostituzione è lecita, $y \in \mathbb{R}$, lo stesso non si potrebbe fare con una variabile ad esponente pari). Abbiamo quindi $(x^3+1)^3=8y^3 \implies x^3+1=2y \implies x^3=2y-1$.
Quindi abbiamo le due equazioni $y^3= 2x-1$, $x^3=2y-1$, sottraendole, $y^3-x^3=2x-2y \implies (y-x)(x^2+xy+y^2)=2(x-y) \implies$
$\implies (y-x)(x^2+xy+y^2)-2(x-y)=0 \implies (y-x)(x^2+xy+y^2)+2(y-x)=0 \implies $
$\implies (y-x)(x^2 +xy +y^2+2)=0 $, da cui $y-x=0$ o $(x^2 +xy +y^2+2)=0$. Supponiamo $(x^2 +xy +y^2+2)=0 \implies |x^2 +xy +y^2+2|=0 \implies |x^2| -|xy|+|y^2|+2 \le 0 \implies$
$ \implies 2\sqrt{|x^2||y^2|} -|xy|+2 \le0$, quest'ultima da AM-GM. Ma quindi $2|xy|-|xy|+2 \le0$, assurdo. Quindi $y-x=0$, ovvero $x=y$. Da $y^3=2x-1$, otteniamo $x^3=2x-1$ che ha come radici $1, \frac{-1+\sqrt{5}}{2},\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$.
Quindi queste 3 sono le uniche radici reali possibili e sono effettivamenso soluzioni.
Quindi abbiamo le due equazioni $y^3= 2x-1$, $x^3=2y-1$, sottraendole, $y^3-x^3=2x-2y \implies (y-x)(x^2+xy+y^2)=2(x-y) \implies$
$\implies (y-x)(x^2+xy+y^2)-2(x-y)=0 \implies (y-x)(x^2+xy+y^2)+2(y-x)=0 \implies $
$\implies (y-x)(x^2 +xy +y^2+2)=0 $, da cui $y-x=0$ o $(x^2 +xy +y^2+2)=0$. Supponiamo $(x^2 +xy +y^2+2)=0 \implies |x^2 +xy +y^2+2|=0 \implies |x^2| -|xy|+|y^2|+2 \le 0 \implies$
$ \implies 2\sqrt{|x^2||y^2|} -|xy|+2 \le0$, quest'ultima da AM-GM. Ma quindi $2|xy|-|xy|+2 \le0$, assurdo. Quindi $y-x=0$, ovvero $x=y$. Da $y^3=2x-1$, otteniamo $x^3=2x-1$ che ha come radici $1, \frac{-1+\sqrt{5}}{2},\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$.
Quindi queste 3 sono le uniche radici reali possibili e sono effettivamenso soluzioni.
Re: SNS Esercizio 4 2021
@FraGhila, fammi sapere se ci sono cose poco chiare (o eventuali sviste)
Re: SNS Esercizio 4 2021
Sì, è proprio quello che intendevo. Io mi sono fermato a $2|xy| - |xy| + 2 \le 0$, dicendo chè un assurdo sottindendendo i passaggi successivi che hai scritto tu
Re: SNS Esercizio 4 2021
Ho trovato un video con una soluzione che sviluppa i punti in modo "grafico" ed " algebricamente intuitivo ".
Praticamente si spiega nel dettaglio ciò che è stato sapientemente eseguito in modo analitico
A.
Praticamente si spiega nel dettaglio ciò che è stato sapientemente eseguito in modo analitico
A.
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TheMathSolver1
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Re: SNS Esercizio 4 2021
Vorrei ma non so se un link di un video "youtube" potrebbe essere "filtrato" da firewall o qualcosa di affine (per combattere magari spam , robot etc etc).Se andrebbe liscio, lo inserisco, è pubblico...quindi no problem.