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Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da lordgauss
Determinare tutti gli insiemi S di almeno tre punti del piano tali che per ogni due punti A,B appartenenti ad S l\'asse di AB sia asse di simmetria di S.
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<BR>NOTA: questo problema è per certi versi simile a quello sulla sfera postato nel topic \"uno stock di problemi\".
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da lordgauss
OK, non so che fare... risponderò a questo visto che è stato abbandonato.
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<BR>RISOLUZIONE
<BR>Si consideri un qualsiasi insieme S di n punti soddisfacente le condizioni date e prendiamo tre punti A,B,C ad esso appartenenti. Ovviamente gli assi di AB, BC e CA si incontrano in un punto O. Prendiamo ora un quarto punto D di S: dato che, ad es., D è il simmetrico di C rispetto all\'asse di AB, si ha, ragionando sui triangoli, che O appartiene all\'asse di CA. Dunque A,B,C,D stanno su di una stessa circonferenza. Tale ragionamento è facilmente generalizzabile ad n punti. Pertanto esiste un punto O equidistante da tutti i punti di S. Dunque l\'insieme S è un sottoinsieme di una circonferenza.
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<BR>Prendiamo ora tre punti A, B e C appartenenti ad S in modo tale che non vi sia nessun altro punto di S che stia sull\'arco AC. Allora B appartiene all\'asse di AC e dunque i segmenti BA e BC sono uguali. Prendendo in considerazione la terna BCD, poi la terna CDE e così via e ripetendo il ragionamento si ha che tutti i punti di S sono vertici di un poligono regolare, visto che stanno su di una circonferenza e le distanze tra punti consecutivi sono uguali.
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<BR>D\'altra parte è ovvio che ogni insieme costituito dai vertici di un poligono regolare soddisfa le ipotesi.
<BR>[addsig]