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Problema 4:
Si considerino per prima cosa i casi a1 e a2.:

a1 è ovviamente >1 , essendo k >0

a2 = 1/a1 + k = ( k(a1) + 1 ) / a1

Confrontiamo quindi i numeratore e denominatore e notiamo (dato a1 = 1 + k):
a2 = (1 + k + k^2) /( 1 + k)
Risulta quindi a2 > 1 essendo k ^2 strettamente positivo.

Procediamo quindi a dimostrare per induzione che se a[n - 1] e a[n] sono maggiori di 1, allora anche a[n+1] è >1:

a[n+1] = 1 / a[n] +k = (k ( a [n]) +1) / (a[n])

Ricordandoci a[n] = 1/ a[n-1] + k

=> a[n+1] = (k(a[n]) + 1 )/ (1/a[n-1] + k)

Si confrontano nuovamente numeratore e denominatore, per le condizioni precedenti si ha a[n] > 1
E quindi il numeratore è la somma tra 1 e un numero superiore a k, mentre il denominatore è somma di k e un numero inferiore a 1 (1/ a[n-1]), quindi il numeratore è superiore al denominatore e quindi:
a[n+1]>1

=> qualsiasi a [n] con n> 1 è maggiore di 1 per induzione.

Ecco la mia soluzione

Mi pare che non serva l'ipotesi [math]k<1! La successione rimane confinata in [math]1<a_n\leq 1+k.

Rilanciamo:
- dimostrare che la successione a_n e' decrescente (facile)
- dimostrare che la successione non solo e' maggiore di 1, ma e' anche maggiore di [math]1+\frac k 2
- trovare il massimo [math]b(k) tale per cui [math]a_n>b(k) per ogni n
- ora supponiamo che l'ipotesi su k sia [math]-1<k<0 : dimostrare che [math]a_{2n+1}>1 per ogni [math]n ovvero che la tesi rimane vera se ci restringiamo sui termini di indice dispari della successione

Ho delle obiezioni sul rilancio di Ghilu e ne propongo uno modificato; prima però faccio una digressione e do un esempio. Ripeto brevemente le ipotesi: dato un $ k>0 $, una successione è definita da $ a_1=1+k; a_{n+1}=\frac 1 {a_n}+k $; è già stato dimostrato che si ha $ a_n>1 $ per ogni n.

Digressione
Se la successione converge ad un limite L, dalla formula di ricorrenza si ricava $ L=\frac 1 L+k $; noto k, L è quindi la soluzione positiva di questa equazione ed ciò che segue userò questa lettera in questo senso. Resta da dumostrare che la successione converge.

Esempio
Troncando i numeri con molti decimali, per$ k=0.4 $ si ha L=1.2198 e
$ a_1=1.4: a_2=1.114; a_3=1.297; a_4=1.1.170;a_5=1.254; .... $

Obiezioni al rilancio di ghilu
Chiede di distrare che la successione è decrescente. Falso: la successione dell'esempio è oscillante attorno ad L.
Inoltre chiede di dimostare che per ogni n si ha $ a_n>1+\frac k 2 $. Falso: nell'esempio ci sono numeri inferiori ad 1.2.

Rilancio modificato
Per ogni k>0
1) dimostare che la successione oscilla intorno ad L;
2) dimostrare che la successione delle $ |a_n-L| $ è decrescente e tende a zero;
3) in fuzione di k, determinare il più grande valore di A tale che per ogni n si abbia $ a_n \ge A $ (e questa è anche una domanda di ghilu).
ghilu propone anche un'altra questione, che non ho esaminato.