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Domanda SNS orale
Inviato: 27 apr 2025, 22:49
da Sebastiano Marchi
Mi sono imbattuto nella seguente domanda:
Trovare una bigezione esplicita di Q+ in Z (non il serpentone sul piano
ma qualcosa con i primi).
Ho associato ogni razionale positivo a una successione di esponenti interi, mi rimarrebbe da dimostrare che le successioni di esponenti interi sono numerabili. Qualcuno sa la risposta?
Re: Domanda SNS orale
Inviato: 28 apr 2025, 12:39
da Sirio
Occhio che non è vero che le successioni di interi sono numerabili. Però è vero che le successioni di interi che da un certo punto in poi sono costantemente zero sono numerabili.
Re: Domanda SNS orale
Inviato: 28 apr 2025, 15:20
da Sebastiano Marchi
Ah, sì, mi ero dimenticato di scriverlo.
Re: Domanda SNS orale
Inviato: 28 apr 2025, 15:31
da Sebastiano Marchi
Quello che mi manca è proprio come numerarle, senza usare Cantor.
Re: Domanda SNS orale
Inviato: 29 apr 2025, 09:35
da Sirio
In questo momento una bigezione esplicita (che non usi mai "il serpentone") non mi viene, però una funzione suriettiva esplicita $\mathbb Z_{>0}\rightarrow\mathbb Q_{>0}$ sì, e magari va abbastanza bene, idk.
Re: Domanda SNS orale
Inviato: 29 apr 2025, 18:18
da Sebastiano Marchi
Mi è venuta in mente una soluzione: consideriamo le successioni finite di numeri naturali. Sono numerabili (associo ad ognuna il rispettivo numero intero positivo usandole come successioni di esponenti). Ad esempio 3,0,11,9 ha posizione [math]2^3 5^{11} 7^9. La funzione è biunivoca. A questo punto dico che per le successioni finite con numeri negativi e positivi (in relazione biunivoca con i razionali positivi), le ordino come ho ordinato quelle contenenti solo naturali, ma metto in mezzo tra una solo positiva e l'altra poi tutte le combinazioni (finite) usando i meno. Ad esempio: dopo la 3,0,11,9 metto la -3,0,11,9, poi la 3,0,-11,9, ecc. Fin quando non sono finite, a quel punto prendo la successione di naturali successive. Fatto questo, ho una biunivoca da [math]\mathbb{Q^+} agli interi positivi, facilmente trasformabile in una biunivoca da [math]\mathbb{Q^+} a [math]\mathbb{Z}. Ho fatto errori? Se no, il trucco era considerare entrambi in fattori primi, e non solo i razionali positivi.
Re: Domanda SNS orale
Inviato: 29 apr 2025, 18:21
da Sebastiano Marchi
Però devo dire che non è affatto scontata come domanda, anche rispetto alle altre poste agli orali (come il lemma di Sperner a una dimensione). Soprattutto perché online non si trova da nessuna parte qualcuno che non usi Cantor.
Re: Domanda SNS orale
Inviato: 30 apr 2025, 11:40
da Sirio
Sebastiano Marchi ha scritto: 29 apr 2025, 18:18
Mi è venuta in mente una soluzione: consideriamo le successioni finite di numeri naturali. Sono numerabili (associo ad ognuna il rispettivo numero intero positivo usandole come successioni di esponenti). Ad esempio 3,0,11,9 ha posizione
[math]2^3 5^{11} 7^9. La funzione è biunivoca. A questo punto dico che per le successioni finite con numeri negativi e positivi (in relazione biunivoca con i razionali positivi), le ordino come ho ordinato quelle contenenti solo naturali, ma metto in mezzo tra una solo positiva e l'altra poi tutte le combinazioni (finite) usando i meno. Ad esempio: dopo la 3,0,11,9 metto la -3,0,11,9, poi la 3,0,-11,9, ecc. Fin quando non sono finite, a quel punto prendo la successione di naturali successive. Fatto questo, ho una biunivoca da
[math]\mathbb{Q^+} agli interi positivi, facilmente trasformabile in una biunivoca da
[math]\mathbb{Q^+} a
[math]\mathbb{Z}. Ho fatto errori? Se no, il trucco era considerare entrambi in fattori primi, e non solo i razionali positivi.
Mi sembra che funzioni
Re: Domanda SNS orale
Inviato: 30 apr 2025, 11:45
da fph
Diciamo, il punto cruciale è capire cosa vuol dire "bigezione esplicita" nella richiesta. Se non va bene "faccio una lista dei razionali e cancello i doppioni", allora non so se va bene "faccio una lista delle successioni e poi cambio i segni". In confronto, una funzione N^2 -> N (o Z^2 -> Z) biiettiva si può scrivere proprio come una formula esplicita, e secondo me chi ha fatto la domanda intendeva quello.
Re: Domanda SNS orale
Inviato: 30 apr 2025, 11:47
da fph
Detto questo, comunque concordo che non è una domanda facile: se la facessi a un orale sarebbe per vedere come la approcci e ragionare insieme a te; non credo che la commissione si aspetti che tu pensi due minuti e poi arrivi con una soluzione pronta interamente da solo/a.
Re: Domanda SNS orale
Inviato: 30 apr 2025, 23:05
da Sebastiano Marchi
Io con mia madre (algebrista dell'Unipd che ha insegnato alla galileiana) non eravamo riusciti a risolverlo la prima volta.
