Eratostene misura la Terra, ma i conti non tornano

[Lorenzo Pantieri]

La misura della circonferenza terrestre fatta da Eratostene è una delle più famose della storia. Eccone un riassunto.

Eratostene sapeva che a Siene (una città dell’antico Egitto, l’attuale Assuan) a mezzogiorno del solstizio d’estate il Sole illumina il fondo dei pozzi. Siene infatti si trova sul tropico del Cancro: in quel momento il sole è allo zenit, quindi i raggi solari cadono perpendicolari alla città e un bastone piantato verticalmente a terra non proietta alcuna ombra. A mezzogiorno del solstizio d’estate a Siene i raggi solari sono perpendicolari alla superficie terrestre. Nello stesso giorno Eratostene misurò l’ombra dello gnomone ad Alessandria d’Egitto, che si trovava a nord di Siene, sullo stesso meridiano. Grazie all’ombra del bastone Eratostene stabilì che la direzione dei raggi solari formava un angolo di 7,2° con la verticale, cioè 1/50 di un angolo giro. Nelle condizioni scelte da Eratostene, l’angolo di inclinazione dei raggi solari ad Alessandria è uguale all’angolo formato dai raggi che uniscono il centro della Terra con le due città. Eratostene dedusse che la circonferenza della Terra doveva essere 50 volte la distanza tra Alessandria e Siene, perché l’angolo che sottende la loro distanza è un cinquantesimo dell’angolo giro che sottende l’intera circonferenza della Terra. Vale quindi la proporzione:

Non restava quindi che misurare la distanza tra le due città. Eratostene osservò che un cammello percorreva in media l’equivalente di circa 15 chilometri al giorno e che un cammello impiegava circa 50 giorni tre settimane per percorrere il tragitto: la distanza era quindi pari a circa 800 chilometri. La circonferenza terrestre era dunque pari a circa 40000 chilometri. La stima trovata da Eratostene, pari a circa 39000 chilometri, è un valore straordinariamente vicino al valore misurato oggi (circa 40000 km: una differenza del 2%).

La storia precedente si trova riportata un po' ovunque. È una gran bella storia, peccato però i conti non tornino. Infatti:

• A mezzogiorno del solstizio d’estate, la direzione dei raggi solari a Siene non forma un angolo di 7,2° con la verticale: il valore corretto è 7,8°.

• Siene non si trova esattamente sul Tropico del Cancro: il Tropico del Cancro si trova alla latitudine di circa 23.5°, mentre Siene si trova a circa 24,1’.

• Siene e Alessandria non sono sullo stesso meridiano: Assuan ha una longitudine di 32.9°, mentre Alessandria ha una longitudine di 29.9°.

Fin qui si tratta di piccoli errori. Ora veniamo a quelli più grossi.

• La distanza tra Siene e Alessandria non è di 800 chilometri, ma è molto superiore: la distanza in linea d'aria fra le due città è di 850 km, ma seguendo il corso del Nilo (come verosimilmente faceva una carovana ai tempi di Eratostene, per poter contare su acqua e sostentamento), la distanza va da 1000 a 1200 chilometri, a seconda del percorso scelto. Una differenza compresa fra il 20% e il 33%.

• La distanza che un cammello può percorrere in un giorno non è di 15 km, ma è compresa fra 30 km e 40 km. Una differenza del 100%!

Queste incongruenze dipendono probabilmente dal fatto che non conosciamo il valore esatto delle unità di misura usate da Eratostene, né conosciamo i dati precisi su cui ha lavorato. Sta di fatto che, così come viene di solito raccontata, la storia non regge.

Come posso correggere la storia d Eratostene in modo che i conti tornino?

Grazie di cuore.

[ricarlos]

Ciao Lorenzo, il 21 giugno 2025, ad Assuan, il sole avrà un'altitudine massima (quel momento definisce il mezzogiorno vero) di 88,9 gradi, mentre ad Alessandria, lo stesso giorno, raggiungerà un'altitudine massima di 82,2 gradi.
Quindi, abbiamo una differenza di 88,9-82,2 = 6,7 gradi.
Se usiamo la distanza di 800 km usata da Eratostene (erroneamente o meno), il calcolo è il seguente:
Perimetro terrestre = 360 * 800 km / 6,7 = 42.985 km ---> Diametro terrestre = 42.985 /pi= 13.682, niente male!

Inoltre, Eratostene basò i suoi calcoli su una Terra sferica. Pensa, c'è ancora gente oggi che insiste sul fatto che la Terra sia piatta! Per l'amor di Dio!

[Lorenzo Pantieri]

Se usiamo la distanza di 800 km usata da Eratostene (erroneamente o meno), il calcolo è il seguente:

Come ho scritto, 800 km è una stima pessima della distanza fra Alessandria e Assuan: il valore corretto va da 1000 a 1200 km.

RIpeto: in questa storia, almeno come la raccontano i libri, i conti non tornano.

[ricarlos]

Se dovessi calcolare il raggio terrestre semplicemente usando le due città usate da Eratostene, non dovresti prendere il percorso che devi percorrere, nemmeno la linea retta che collega entrambe le città. Dovresti calcolare la distanza tra i paralleli che passano per Assuan e Alessandria (la linea rossa che ho disegnato), poiché il mezzogiorno ad Assuan cade leggermente prima che ad Alessandria.
Ora, dal grafico potete vedere che è probabile che tra i paralleli ci siano circa 800 km.

assuan.png (211.94 KiB) Visto 399 volte

Dici:
"A mezzogiorno, la direzione dei campi solari a Siena non forma un angolo di 7,2° con la verticale: il valore corretto è 7,8°."
Non è corretto, ad Assuan il Sole forma un angolo minimo (con la verticale) di 1,1 gradi.

"Siene non si trova estattamente sul Tropico del Cancro: ...."
Questo non ha importanza (due punti qualsiasi sulla Terra possono essere usati per calcolarne il raggio)

"Siene e Alessandria non sono sullo stesso meridiano: ..."
Anche questo non è importante

[Lorenzo Pantieri]

Facciamo così. Io ti passo il testo che ho scritto. E ti mi dici come correggerlo. Che ne dici?

Eratostene sapeva che a Siene (una città dell'antico Egitto, l'attuale Assuan) a mezzogiorno del solstizio d'estate il Sole illumina il fondo dei pozzi.
Siene infatti si trova sul tropico del Cancro: in quel momento il sole è allo zenit, quindi i raggi solari cadono perpendicolari alla città e un bastone piantato verticalmente a terra non proietta alcuna ombra.

Nello stesso giorno Eratostene misurò l'ombra dello gnomone ad Alessandria d'Egitto, che si trovava a nord di Siene, sullo stesso meridiano.
Grazie all'ombra del bastone Eratostene stabilì che la direzione dei raggi solari formava un angolo di~$7{,}2$° con la verticale, cioè~$1/50$~di un angolo giro.

Nelle condizioni scelte da Eratostene, l'angolo~$\alpha$ di inclinazione dei raggi solari ad Alessandria è uguale all'angolo~$\beta$ formato dai raggi che uniscono il centro della Terra con le due città.
Eratostene dedusse che la circonferenza della Terra doveva essere~$50$~volte la distanza tra Alessandria e Siene, perché l'angolo che sottende la loro distanza è un cinquantesimo dell'angolo giro che sottende l'intera circonferenza della Terra.
Vale quindi la proporzione:

[math]
\dfrac{\text{distanza Siene-Alessandria}}{\text{circonferenza terrestre}} = \dfrac{\alpha}{\text{$360$°}}


Non restava quindi che misurare la distanza tra le due città.
Eratostene osservò che un cammello percorreva in media l'equivalente di~$20$~chilometri al giorno e che un cammello impiegava~$40$~giorni per percorrere il tragitto: la distanza era quindi pari a~$800$~chilometri.
La circonferenza terrestre era dunque pari a~$40\,000$~chilometri.
La stima trovata da Eratostene, pari a~$39\,000$~chilometri, è un valore straordinariamente vicino al valore misurato oggi (poco più di~$40\,000$\,km: una differenza del~$2\%$).