OliForum Matematico

Tra le domande orali della SNS ho trovato questa:
"Se ho un polinomio [math]P(x) \in \mathbb{N}[x] e sai che [math]P(a)=P(b)=P(c)=P(d)=1 con a, b, c, d distinti, dimostra che non esiste un [math]x\in \mathbb{N} per cui il polinomio vale 30."
Se a,b,c e d sono interi, allora P(x)-1=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)K(x) dove [math]K(x)\in \mathbb{Z}[x], dunque per x intero (x-a), (x-b), (x-c) e (x-d) dovrebbero essere quattro divisori interi distinti di 29 perché [math]P(x)-1=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)K(x)=29. Tuttavia, essendo 29 primo, implica che si abbia [math](-1)\cdot 1\cdot 29\cdot (-29)\cdot n=29 con [math]n\in\mathbb{Z} e ciò è impossibile.
Ma se considero a,b,c,d reali, non riesco a dimostrare nulla. Sapete per caso la soluzione?

Penso proprio che a,b,c,d debbano essere interi perché l'enunciato sia valido. Si può costruire un controesempio altrimenti: basta prendere un polinomio a coefficienti interi con p(0)=30 e che oscilli abbastanza tante volte, per esempio questo: https://www.wolframalpha.com/input?i=pl ... *(x%5E2-4) . Si vede graficamente che ci sono cinque intersezioni tra il polinomio e la retta y=1.

In realtà credo che i coefficienti debbano essere interi positivi o nulli, comunque a questo credo che un polinomio a coefficienti naturali con quattro radici e termine noto 29 esista.

Perché 29? Non riesco a capire

Sebastiano Marchi ha scritto: ↑15 lug 2025, 19:55 In realtà credo che i coefficienti debbano essere interi positivi o nulli, comunque a questo credo che un polinomio a coefficienti naturali con quattro radici e termine noto 29 esista.

Hai ragione, mi ero perso che era N e non Z. Comunque basta fare qualcosa di simile ma con tutti i fattori del secondo pezzo a radici negative, per esempio https://www.wolframalpha.com/input?i=pl ... 3)*(x%2B4) .

cas ha scritto: ↑19 lug 2025, 01:40 Perché 29? Non riesco a capire

Se prendi un polinomio [math]K(x)\in\mathbb{N} con quattro radici intere e coefficiente 29, allora esiste il polinomio P(x)=K(x)+1 che rispetta tutto.