OliForum Matematico

Salve a tutti.
Qualcuno di voi si è cimentato con i tests della Scuola Normale di quest'anno?
Vi riporto l'esercizio :
siano $ f(t) $ e $ g(t) $ polinomi a coefficienti reali di grado 3 e sia $ h (t) $ un polinomio non nullo a coefficienti reali di grado al massimo 2. Supponiamo di avere
$ f(t) ^2 $ + $ h(t)^2 $ = $ g(t)^2 $,
mostrare che esistono
due numeri reali $ a \neq b $ per cui vale
$ f(a) $ = $ f(b) $ = 0.
Qualcuno ha qualche idea che consenta di escludere il fatto che le radici possano essere complesse e coniugate?
Grazie a tutti
A.

Ho scritto questa soluzione in LaTex. Al momento non ho il tempo metterla in ordine per bene, ma spero si comprenda lo stesso. Ovviamente potrei aver fatto errori, nel caso per favore segnalatemeli.

errata corrige: verso la fine ho scritto determinante invece che discriminante

Ciao caro,in primis grazie davvero!
Adesso nel we gli do un' occhiata.
Per ora solo un piccolo refuso ed una domanda. Nel file pdf leggo "..esercizio_3....". Il numero mi pare sia il 2 (dal testo).
Nella soluzione vedo che hai considerato il polinomio $f(x)$ senza il coefficiente $k_f$ come mai ?Lo hai inglobato nelle altre costanti o ti è sfuggito?
In quanto al primo problema del test di ammissione metto poi un post: c'è di mezzo la formula di Legendre....(mi pare)
Un saluto e ....la prossima settimana ti dico.
A.

Esercizio tre perché è il terzo progetto su Overleaf che faccio risolvendo esercizi della normale, serve a me per distinguerli ma non c'entra con l'ordine degli esercizi del test di quest'anno. Per quanto riguarda il coefficiente , se non è nullo (caso considerato alla fine) può essere ignorato, dividendo tutti i polinomi di uno stesso coefficiente reale (ossia quello di f(x)). Quindi sì l'ho inglobato nelle altre costanti. Anch'io avevo riconosciuto la formula di Legendre. Torna utile anche per il punto 2 del problema secondo me.

Ti ho inviato un msg in pvt per alcune considerazioni generali sul quesito.
Ciao
A.