Ciao Duilio, io c\'ero (un amico di Cecchi) <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif"> .
<BR>Premetto che i testi delle prove sono qua: <a href="
http://users.mat.unimi.it/users/giochi/0304/0304III.pdf" target="_blank" target="_new">
http://users.mat.unimi.it/users/giochi/ ... III.pdf</a>
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<BR>Allora...
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<BR>1° : poichè sono disponibili 21 botti e 21 metà di botte (di vino), ognuno otterrà 7 botti e sette metà di botti di vino. Per assegnare il vino basta dare a due dei figli tre botti intere più metà botte, e al terzo figlio la botte intera rimanente più le cinque metà restanti; basta poi assegnare tre botti vuote a ciascuno dei primi due figli e l\'ultima botte vuota al terzo, in modo da pareggiare il computo delle botti.
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<BR>2° Notiamo che è impossibile che entrambi i primi ottenuti siano dispari, infatti qualora x sia pari, si ha che (x-7)^2 +1 è pari; qualora x sia dispari, abbiamo (x-3)^2 -2 ancora pari. E\' necessario quindi che uno dei due primi sia uguale a 2; risolvendo le opportune uguaglianze si ottengono le soluzioni 1, 5, 6 e 8. (Ho sentito che qualcuno ha considerato anche -2 primo... io ho inteso i primi come quelli che si studiano in Aritmetica, poi si tratta di interpretazioni <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> )
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<BR>3° Notiamo che x congruo a 1 oppure 2 oppure 4 (mod 7) implica x^3 congruo a 1 (mod 7) e che x congruo a 3 oppure 5 oppure 6 (mod 7) implica x^3 congruo a -1 (mod 7). Dunque il cubo di un intero non divisibile per 7 è per forza congruo ad 1 o a -1 (mod 7), quindi x^3 + y^3 = 0 (mod 7) oppure = 2 (mod 7); ma affinchè x^3 + y^3 + z^3 = 0 (mod 7) servirebbe che z^3 = 0 (mod 7) oppure z^3=2 (mod 7), ma questo è impossibile.
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<BR>4° (Hannah.. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> ) L\'ho sbagliato, perchè ho fatto in modo da scrivere HANNNAH con tre N <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> ... ciò che segue è quella che credo essere la dimostrazione corretta (spero risulti chiara...)
<BR>Consideriamo le possibilità partendo da 5 H contigue della riga più in alto.. poi, per simmetria, basterà moltiplicare il risultato per 4. Notiamo che, di queste 5 H, ve ne sono 2 centrali, 2 presso l\'angolo, e 1 d\'angolo.
<BR>_Possibili percorsi dall\'H di angolo: 1*1*3*(5*3+2) . Ogni numero è associato alle possibili direzioni in ogni momento, il 2 finale è motivato dal fatto che la A di angolo ha 5 possibilità invece che 3, come per le altre. Poichè questo numero è uguale a quello dei possibili percorsi a partire da una N, e tornerà dopo, lo chiamiamo Z.
<BR>_Possibili percorsi dall\'H presso l\'angolo: (1*1*Z) + (1*2*Z) =3*Z . La prima parentesi conta i percorsi se si va nella A di angolo, la seconda se si va nella A sul lato.
<BR>_Possibili percorsi dalle H centrali: (1*1*Z) + (2*2*Z) = 5*Z. Al solito, la prima parentesi considera la A all\'angolo, la seconda le A sul lato.
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<BR>Dunque il totale è 4*(Z+3*Z+5*Z+5*Z+3*Z)= 68*Z = 68*51 = 3468.
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<BR>5° Grazie alla geometria elementare possiamo affermare che ACC\' e ABB\' sono simili, così come lo sono AA\'B e CC\'B.
<BR>Dunque si ha che BB\':CC\'=AB:AC\' e che AA\':CC\'=AB:BC\', ossia (a sistema):
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<BR>|BB\'*AC\'=CC\'*AB
<BR>|AA\'*BC\'=CC\'*AB
<BR>|AC\'=AB-BC\'
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<BR>quindi, risolvendo un po\', si ha:
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<BR>AA\'*BB\'-AA\'*CC\'=BB\'*CC\', da cui 1/CC\' = (AA\'+BB\')/(AA\'*BB\') = 1/AA\' + 1/BB\' . cvd
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<BR>6° L\'ho cannato sicuramente, e la mia soluzione è abbastanza confusa, quindi evito di pubblicarla.. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">
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<BR>7° Poichè BED e GCF sono simili, si ha che gli angoli BEA e CFA sono uguali, dunque i due triangoli CFA e BEA sono anch\'essi simili, avendo l\'angolo BAC in comune. Da queste similitudini si ricava che:
<BR>DE:BE=GF:CF e che AE:BE=AF:CF , quindi ricavando CF dalla prima e sostituendo nella seconda, si ha AE*GF*BE=BE*AF*DE , quindi AE:AF=DE:GF , ma da questo si ricava che i triangoli AEF e AGD sono simili, quindi, per Talete, GD e EF sono paralleli, quindi GDEF è un trapezio.
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<BR>Bye bye
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<BR>Marino