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Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da talpuz
dimostrare che la successione
<BR>
<BR>a<sub>n</sub>=(a<sub>n-1</sub>)<sup>3</sup>+1999
<BR>
<BR>a<sub>n</sub> naturali
<BR>
<BR>contiene al più un quadrato perfetto<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 07-04-2004 18:39 ]
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da Biagio
bella!
<BR>allora:
<BR>
<BR>a<sub>n+2</sub>=x<sup>2</sup>=(a<sub>n</sub> <sup>3</sup> + 1999)<sup>3</sup> +1999
<BR>non ha soluzioni, basta cosiderare il mod(7)
<BR>
<BR>quindi per n>2 non ci sono sicuramente quadrati,
<BR>
<BR>se a<sub>1</sub> non è un quadrato, allora, anche se lo fosse a<sub>2</sub>, la tesi sarebbe vera,
<BR>
<BR>se invece a<sub>1</sub> è un quadrato, a<sub>2</sub> non può esserlo
<BR>
<BR>infatti la diofantea x<sup>2</sup>=y<sup>6</sup>+1999 non ammette nessuna soluzione (basta scomporre la differenza di quadrati...<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 07-04-2004 19:03 ]
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da talpuz
bene, visto che il problema è stato trucidato (complimenti Biagio <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">)
<BR>ne propongo un altro
<BR>
<BR>trovare il numero di coppie (x,y) di interi positivi tali che
<BR>
<BR>x<sup>2</sup>=12<sup>12</sup> + y<sup>2</sup>
<BR>
<BR>e (generalizzazione improvvisata)
<BR>
<BR>x<sup>2</sup>=12<sup>n</sup> + y<sup>2</sup>
<BR>
<BR>con n naturale
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 07-04-2004 19:23 ]
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da edony
(n+1)^2 ???
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da talpuz
...dimostrazione?? (il mio risultato, buttato giù adesso, è diverso)
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da edony
vediamo se questa funziona...
<BR>(x+y)(x-y)=12^n
<BR>12^n ha (n+1)(2n+1) divisori di cui ci interessano solo le coppie(il cui prodotto è 12^n)pari per cui i divisori che ci interessano sono (n+1)2n,questa quantità va divisa per 2 perchè ci interessano coppie di divisori e ulteriormente per 2 perchè x+y>x-y e quindi non bisogna considerare le coppie simmetriche sempre perchè x+y>x-y se n è pari bisogna sottrarre al tutto 1.
<BR>In definitiva il numero richiesto è n(n+1)/2 (-1 se n pari)
<BR>Non so se è corretta perchè vado di fretta che gioca la salernitana!<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: edony il 07-04-2004 20:23 ]
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da massiminozippy
Io vado ancora più di fretta ed ho provato solo con alcuni (uno solo) esempi numerici: mi esce un numero un \"pò\" più basso....
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da massiminozippy
A me esce che le soluzioni (x,y) sono n-2. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da massiminozippy
Ho sbagliato tutto!
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da massiminozippy
Rilancio:
<BR>
<BR>x^2=p^n + y^2, con p numero primo dispari.
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da edony
La dimostrazione di prima è sballata in qualche punto,devo rivederla meglio con calma,quella di massimino,sperando di non commettere ancora errori, dovrebbe essere[(n+1)/2]<---parte intera:
<BR>sempre con la differenza di quadrati si ha che x+y=p^i x-y=p^(n-i) fino a quando i>n-i dopodichè il sistema nn ha più soluzioni.Da ciò si deduce la formula di sopra
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da ReKaio
x^2=p^n + y^2
<BR>(x-y)(x+y)=p^n
<BR>
<BR>x-y=p^a
<BR>x+y=p^b
<BR>a+b=n
<BR>
<BR>x=(p^b+p^a)/2
<BR>y=(p^b-p^a)/2
<BR>
<BR>x=(p^(n-a)+p^a)/2
<BR>y=(p^(n-a)-p^a)/2
<BR>
<BR>per ogni p, n, 1<a<n etc etc, non sono un po\' troppe le soluzioni con p primo?
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da edony
In che senso un pò troppe?
<BR>e cmq credo che 1<=aminoren/2 ,se a>n/2 y è negativo e mi pare che il problema,almeno all\'inizio volesse gli interi positivi<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: edony il 08-04-2004 10:45 ]
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da ReKaio
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>In che senso un pò troppe?
<BR>e cmq credo che 1<=aminoren/2 ,se a>n/2 y è negativo e mi pare che il problema,almeno all\'inizio volesse gli interi positivi
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>ho letto solo il tuo testo, l\'originale me lo sono perso
<BR>
<BR>po\'
<BR>
<BR><font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: ReKaio il 08-04-2004 11:01 ]
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da talpuz
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-04-07 19:39, edony wrote:
<BR>vediamo se questa funziona...
<BR>(x+y)(x-y)=12^n
<BR>12^n ha (n+1)(2n+1) divisori di cui ci interessano solo le coppie(il cui prodotto è 12^n)pari per cui i divisori che ci interessano sono (n+1)2n,questa quantità va divisa per 2 perchè ci interessano coppie di divisori e ulteriormente per 2 perchè x+y>x-y e quindi non bisogna considerare le coppie simmetriche sempre perchè x+y>x-y se n è pari bisogna sottrarre al tutto 1.
<BR>In definitiva il numero richiesto è n(n+1)/2 (-1 se n pari)
<BR>Non so se è corretta perchè vado di fretta che gioca la salernitana!
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: edony il 07-04-2004 20:23 ]
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>occhio che l\'esponente del 2 in x+y e x-y non può essere nè 0 nè n, affinchè x e y siano interi
<BR>
<BR>comunque se
<BR>
<BR>(x+y)=3<sup>a</sup>*2<sup>b</sup>
<BR>(x-y)=3<sup>c</sup>*2<sup>d</sup>
<BR>
<BR>a+c=n 0<=a,c<=n
<BR>b+d=2n 0 < b,d < n
<BR>
<BR>hai n+1 scelte per l\'esponente a e 2n-1 per b, e c e d non univocamente determinati. peccato che dividendo per 2 per assicurarsi che x+y>x-y, salti fuori
<BR>(n+1)(2n-1)/2 che per n=12 è frazionario <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 08-04-2004 18:49 ]