Di fatto ci interessa quanti di questi numeri, divisi per 45, abbiano parte intera pari. Diciamo questo numero n, il risultato sarà 99-n.
Diciamo k il numero diviso 45, k deve essere tale che, per un qualche t naturale, [math]2t\leq k < 2t+1. Portando il 45 al di fuori, [math]90t\leq m < 90t+45. Portando il 90 dentro, [math]t\leq \frac{m}{90}<t+\frac{1}{2}, abbiamo quindi che, dividendo per 90 il numero m, la parte dopo la virgola deve essere tra 0 e 0.5, non al di fuori. Detto r il resto di m dividendo per 90, è come dire [math]\frac{1}{2}>\frac{r}{90}, ossia [math]r< 45. Ci interessa quindi il valore di m modulo 90, sappiamo che il numero è congruente a 1 modulo 2, che è congruente a 1 modulo 5. Ci interessa a cosa è congruente mod 9 per poter applicare il teorema cinese del resto e risolvere il problema. Per farlo si sfrutta il fatto che la somma delle cifre di m è uguale modulo 9 alla somma dei numeri da 1 a m', dove m' è al massimo 99, e che questa somma di cifre è proprio uguale a m modulo 9. La somma delle cifre è [math]\frac{m'(m'+1)}{2}. Il teorema del resto ci dà questo valore: [math]r\equiv1\times 45\times1+1\times18\times2+\frac{m'(m'+1)}{2}\times10\times1 mod 90. Si ottiene [math]r\equiv 81+10\frac{m'(m'+1)}{2} mod [math]90. A noi però non interessa un generico valore modulo 90, ma il resto nella divisione per 90. Pertanto dobbiamo sostituire [math]\frac{m'(m'+1)}{2} con un qualsiasi valore equivalente modulo 9, in modo da ottenere un valore tra 0 e 89 per r. Ora bisogna capire quali valori può ottenere [math]\frac{m'(m'+1)}{2} al variare di m' e conseguentemente per quali valori di m' r è effettivamente minore di 45. Abbiamo [math](0\to0),(1\to 1),(2\to3),(3\to6),(4\to1),(5\to6),(6\to3),(7\to1),(8\to0), dove la freccia manda il valore di m' modulo 9 al valore di [math]\frac{m'(m'+1)}{2}, sempre modulo 9. Facciamo lo stesso mandando dal valore di [math]\frac{m'(m'+1)}{2} modulo 9 al valore di r: [math](0\to81),(1\to1),(3\to21),(6\to51). Pertanto rimangono come valori modulo 9 di m' solo [math](1,2,4,6,7), ossia 5 su 9. Pertanto, siccome m' va da 1 a 99, e 99 è divisibile per 9, il numero di numeri che darà un numero pari è [math]\frac{5}{9} di 99 e pertanto quelli che daranno un numero dispari sono i [math]\frac{4}{9}, ossia 44, che è la soluzione.
