OliForum Matematico

1)trovare tutte le f:R+-->R+ tali che
<BR>- f(x+yf(x))=f(x)f(y)
<BR>- non esistono infiniti x tali che f(x)=1
<BR>
<BR>2)sia ABC un triangolo acutangolo scaleno, e D e V piedi di altezza e bisettrice da A. la circonf circoscritta ad AVD incontra AC e AB nei punti E ed F dimostrare che le rette AD,BE,CF sono concorrenti
<BR>
<BR>3)dimostrare che per ogni n e per ogni p primo
<BR>
<BR>(pⁿ,p)-p^n-1
<BR>
<BR>è multiplo di pⁿ<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 18-04-2004 19:51 ]

up
<BR>
<BR>ne aggiungo un altro, sperando che sia di stimolo
<BR>
<BR>a,b,c>0 ==>a/(b+2c) + b/(c+2a) + c/(a+2b) >=1<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 19-04-2004 18:30 ]

Il 3°:
<BR>
<BR>se (a, b) = MCD (a, b)
<BR>
<BR>(pⁿ, p)=p
<BR>
<BR>p-p^n-1
<BR>p(1-p^n-2) che è sempre multiplo di p

(a,b)=coefficiente binomiale a su b

Il primo, per le funzioni con derivata seconda, ha un\'unica soluzione:
<BR>f(x)=x+1
<BR>chissà che si riesce a fare in generale.. (mi sforzo poco)

3° quesito.
<BR>(pⁿ,p)-p^n-1=
<BR>
<BR>pⁿ(pⁿ-1)(pⁿ-2)*...*(pⁿ-p+1)/p!-p^n-1=
<BR>
<BR>p^n-1[(pⁿ-1)(pⁿ-2)*...*(pⁿ-p+1)-(p-1)!]/(p-1)!=
<BR>
<BR>p^n-1*[(Ap^(p-1)n+Bp^(p-1)n-1+Cp^(p-1)n-2+...+Kp+(-1)^(p-1)*(p-1)!-(p-1)!)/(p-1)!]
<BR>
<BR>Ora ,essendo p dispari,p-1 e\' pari e pertanto il polinomio in parentesi e\' privo di
<BR>
<BR>termine noto.Cio\' consente di raccogliere il fattore p e dunque ,non essendo
<BR>
<BR>(p-1)! divisibile per p,comparira\' un fattore pⁿ che rende la
<BR>
<BR>espressione divisibile per pⁿ.
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 20-04-2004 16:05 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 20-04-2004 16:23 ]

ok
<BR>
<BR>altro:
<BR>consideriamo una circonf di centro O e due corde AB e CD che si intersecano in M, interno al cerchio. sia E il punto di intersez delle tangenti alla circ in A e B e F quello delle tangenti alla circ in C e D
<BR>
<BR>dimostrare che la retta OM è perpendicolare alla retta EF
<BR>
<BR>forza geometri, fatevi sentire!!
<BR>
<BR>[questo mi sembra meno banale del 2), che si risolve quasi immediatamente con Ceva]

Soluzione dell\' esercizio sulle tangenti.
<BR>Propongo una soluzione non del tutto elementare in quanto
<BR>si fonda sulla teoria della polarita\' determinata dalla circonferenza c.
<BR>Dunque:E ed F sono i poli ,rispettivamente, di AB e CD rispetto a c.
<BR>Ne segue che la retta EF e\' la polare di M e cioe\' il luogo dei poli
<BR>di tutte le corde di c passanti per M.Consideriamo ora la retta OM e siano
<BR>U e V le sue interserzioni con c:chiaramente U e V sono gli estremi di una corda
<BR>(diametro) passante per M .
<BR>Le tangenti t1 e t2 a c in U e V devono,per quanto detto intersecarsi
<BR>su EF ,ma dette tangenti sono parallele e quindi esse hanno in comune
<BR>con EF il suo punto all\'infinito.In altre parole EF e\' parallela
<BR>a t1 ( e a t2), ma t1 (o t2) e\' perpendicolare ad OM e quindi EF e\'
<BR>anch\'essa perpendicolare ad OM.
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 21-04-2004 00:13 ]

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-04-20 22:53, karl wrote:
<BR>E ed F sono i poli ,rispettivamente, di AB e CD rispetto a c.
<BR>Ne segue che la retta EF e\' la polare di M e cioe\' il luogo dei poli
<BR>di tutte le corde di c passanti per M.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>L\'enunciato del problema è una diretta conseguenza di questo teorema, che oltretutto è molto più forte. Penso che sia un po\' scorretto usarlo qui senza dimostrazione...[addsig]

1) Preso un punto M all\'interno di una circonferenza
<BR>il luogo dei punti medi delle corde per M è la circonferenza
<BR>che ha per diametro OM (trivial)
<BR>2) Il punto di intersezione delle tangenti condotte per
<BR>A e B ad una circonferenza è l\'inverso circolare del
<BR>punto medio di AB (~definizione)
<BR>3) L\'inversione manda circonferenze per l\'origine in rette.
<BR>
<BR>Questo basta per dimostrare il teorema della polare
<BR>nel caso della circonferenza, proiettando il tutto si
<BR>ha che il teorema resta valido nel caso di coniche qualunque
<BR>non degeneri.
<BR>
<BR>

Per J4Ck202.
<BR>Grazie per la dimostrazione:queste cose mi mandano
<BR>in estasi,anche se non sempre sono alla mia portata.
<BR>
<BR>Per Antimateria.
<BR>Avevo parlato di polarita\':ignoravo di dover dimostrare
<BR>tutto..Ora mi accingo a risolvere il quesito sulle ceviane:
<BR>devo dimostrare il teorema di Menelao?
<BR>
<BR>Quesito sulle ceviane.
<BR>Cominciamo con l\'osservare che i triangoli rettangoli
<BR>AFV e AVE sono congruenti per avere l\'ipotenusa AV
<BR>in comune e gli angoli FAV e VAE congruenti per ipotesi,
<BR>quindi AF=AE.
<BR>Applichiamo ora il teorema delle secanti (uscenti da
<BR>B e C )ed il teorema della bisettrice e si ha:
<BR>BD/BF=BA/BV
<BR>CE/CD=CV/CA
<BR>CV/BV=CA/BA
<BR>Moltiplicando m.a.m e semplificando:
<BR>BD/CD*CE/BF=1
<BR>oppure (ricordando che AF=AE):
<BR>BD/CD*CE/AE*AF/BF=1
<BR>Qundi per il teorema di Menelao (reciproco del teorema di Ceva)
<BR>le tre ceviane AV,BE,CF concorrono n un medesimo punto.
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 21-04-2004 16:03 ]

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-04-21 14:18, karl wrote:
<BR>Ora mi accingo a risolvere il quesito sulle ceviane:
<BR>devo dimostrare il teorema di Menelao?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Non devi, perchè fa parte del bagaglio olimpico. Ma se vuoi farlo lo stesso, nessuno ti sgrida.
<BR>
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

Sempre per Antimateria.
<BR>Vorrei che i medesimi rimproveri di scorrettezza
<BR>venissero rivolte anche a chi ,sul forum,risponde
<BR>in modo ( a dir poco ) criptico e nei cui confronti
<BR>le mie modestissime risposte sono capolavori di
<BR>chiarezza.
<BR>Non conosco Antimateria ,penso che sia uno del
<BR>\"giro\" e per questo non se ne avra\' a male per
<BR>queste mie rispettose considerazioni.
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 21-04-2004 18:03 ]

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-04-21 17:20, karl wrote:
<BR>Non conosco Antimateria ,penso che sia uno del \"giro\" e per questo non se ne avra\' a male per queste mie rispettose considerazioni.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Posso anche essere del \"giro\" ed avermene a male. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
<BR>Comunque il mio non era mica un rimprovero, e poi mi sembra che se una risposta sia troppo criptica, basti chiedere maggiori ragguagli all\'autore.

Va bene.