OliForum Matematico

Ciao gente...avevo bisogno di un paio di suggerimenti per 2 disuguaglianze facili facili...
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<BR>Come faccio a risolvere la disuguaglianza: |a/b + b/a| >= 2?...non so come fare con il modulo...
<BR>
<BR>e poi a² + b² + c² >= ac + bc + ca....come si fa??
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<BR>Lo so che sono cazzate ma mi ci sono appena messo e sono un po in crisi...

Ti dò una mano....
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<BR>1) Per la prima basta considerare a,b>0...Se tutti e 2 sono < 0 i rapporti danno infatti numeri positivi. Se 1 è negativo all\'interno del modulo vi sono 2 numeri negativi, cambi segno ed è fatta. Così levi il modulo, fai mcd e mandi via il den sempre positivo. Ti resta a^2+b^2>=2ab [1] sempre vera per la disuguaglianza tra la media di ordine due e quella geometrica..
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<BR>2) Per la seconda, prova ad applicare la [1] a vari numeri ed a sommare membro a membro 3 equazioni...Ci sono anche altri modi ma questo mi sembra il + elementare (e quindi + bello!).
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<BR>Ok----approfitto per chiedere. Dove posso trovare:
<BR>1) appunti che spieghino come trattare le trasformazioni geometriche in un piano cartesiano;
<BR>2) appunti di geometria proiettiva;
<BR>3) esercizi con sol per il test d\'ammissione al politecnico di Milano (e bè...per ora esiste anche la possibilità di finire in un simile \'postaccio\' <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> );

Grazie mille info...per la storia del modulo ho capito perfettamente....ma in generale basta sempre considerare tutto positivo e togliere il modulo?...un\'altra cosa...per la seconda disuguaglianza non mi viene..ho provato ad applicare la [1]...ma mi rimane il termine bc da una parte e c² dall\'altra...

la seconda disuguaglianza non ti viene perchè non è valida.
<BR>prendi a=c=2 e b=1 e non verificano.
<BR>probabilmente la disuguaglianza in questione è
<BR>a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca
<BR>per risolvere questa prova a \"cercare i quadrati\", cioè a scomporla in una somma di quadrati>=0
<BR>

oppure usi il riarrangiamento <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

Che cosa è il riarrangiamento?
<BR>Scusate l\'ignoranza. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">

Se e\' come dice Alberto ,la diseguaglianza si puo\' anche scrivere cosi\':
<BR>2a² +2b²+2c²-2ab-2bc-2ca>=0
<BR>ovvero:
<BR>(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²>=0
<BR>che e\' vera.
<BR>Inoltre l\'eguaglianza si puo\' avere solo se i tre quadrati sono nulli
<BR>ovvero per a=b=c.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 13-05-2004 21:49 ]

Disuguaglianza di riarrangiamento
<BR>
<BR>Hai due n-uple di reali (a_1, ... a_n) e (b_1, ..., b_n) ordinate in modo decrescente e consideri
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<BR>SUM a_i * b_sigma(i)
<BR>
<BR>dove sigma è una permutazone dei numeri da 1 a n
<BR>
<BR>[in parole povere, hai accoppiato ogni a_i ad un b_j e viceversa]
<BR>
<BR>Allora
<BR>
<BR>SUM a_i * b_(n-i) <= SUM a_i * b_sigma(i) <= SUM a_i * b_i
<BR>
<BR>Cioè la somma è massima se accoppi il maggiore degli a_i al maggiore dei b_j e così via; è minima se moltiplichi il maggiore degli a_i col minore dei b_j e così via.
<BR>
<BR>CaO
<BR>Francesco
<BR>

si si....io intendevo
<BR>a^2+b^2>=2ab
<BR>b^2+c^2>=2bc
<BR>a^2+c^2>=2ac
<BR>sommando membro a membro viene
<BR>...a^2+b^2+c^2>=ab+ac+bc...
<BR>poi ci sono taanti altri metodi: ne hai già visto qualcuno!
<BR>
<BR>Nn avevo neanche letto bene la dis scritta da tè....Ora vado che devo studiare Dante! Cmq studia bene il riarrangiamento
<BR>

Ok perfetto ho capito...cmq devo aver sbagliato a copiarla io...
<BR>
<BR>Per il riarrangiamento...se non ho capito male...
<BR>
<BR>Considero la prima terna con a >= b >= c....e la seconda uguale...
<BR>poi per il riarrangiamento posso dire che siccome moltiplico a per a...b per b...c per c...la somma è sicuramente maggiore o uguale al secondo membro perchè non ho accoppiato i termini più grandi con gli altri termini più grandi delle due terne....
<BR>
<BR>E\' giusto così?

giusto!