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In un dato triangolo ABC, inscrivere il triangolo equilatero di area minima.
<BR>(si intende: costruire con riga e compasso..)
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Lemma I. Dati due cerchi che si intersecano in due punti R ed S, siano A e B le (altre) intersezioni delle rette per R con i due cerchi. Provare che il massimo valore di AB si ha quando AB e\' ortogonale ad RS.
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<BR>Dim.
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<BR>Se M ed N sono i punti medi di AR e RB rispettivamente quando AB e\' ortogonale ad RS e M\' ed N\' sono i punti medi di A\'R e RB\' rispettivamente per una generica posizione di AB. Si ha che MN=distanza dei centri dei cerchi che rappresenta l\'ipotenusa di un triangolo rettangolo di cui M\'N\' e\' uno dei cateti. Percio\' MN>M\'N\' e quindi la tesi.
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<BR>Per il problema proposto, consideriamo ui triangolo equilatero di lato unitario. Costruiamo su due dei suoi lati il luogo dei punti tali che siano visti secondo due dati angoli uguali a due degli angoli del traingolo dato. Questi due luoghi sono due archi di cerchio. Per il vertice del triangolo equilatero comune alle due circonferenze tracciamo la retta ortogonale alla corda comune ai due cerchi. Da(gl)i (altri) punti di intersezione di questa retta con i due cerchi tracciamo le rette passanti rispettivamente per i vertici del triangolo equilatero in modo da inscriverlo in un traingolo. Questo triangolo cosi ottenuto e\' simile al traingolo dato. Dato che l\'area di traingoli simili sta come il quadrato dei lati omologhi, avendo ottenuto il traingolo con il lato piu\' grande (Lemma I) , abbiamo la risoluzione in scala del problema dato.
<BR>riscalando il tutto in modo opportuno si ottiene il triangolo richiesto.
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<BR>PS
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<BR>credo che questo metodo sia buono per inscrivere il traingolo minimo, di qualsiasi forma data, in un dato triangolo.
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