OliForum Matematico

1. Dire se esiste un multiplo di 2002 la cui somma delle cifre siua esattamente 2002.
<BR>
<BR>(ammissione alla normale, 2002)

2002*5=10010
<BR>
<BR>La somma delle cifre di 10010 è 2, quindi mettendo in fila 1001 volte il numero 10010 otterremo un numero che ha somma cifre 2002, resta da dimostrare che esso sia multiplo di 2002.
<BR>
<BR>Questo numero è dato dalla somma:
<BR>10010+(10^5*10010)+(10^10*10010)+...+(10^5000*10010)
<BR>che, raccogliendo il 10010 è:
<BR>10010*(1+10^5+10^10+...+10^5000)
<BR>quindi
<BR>2002*5*(1+10^5+10^10+...+10^5000), che è
<BR>un multiplo di 2002, c.v.d
<BR>
<BR>Conclusione: Esiste un multiplo di 2002 con somma cifre 2002.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Se qualcuno, tipo Antimateria, ha voglia di correggerlo, lo prego di farlo.</B><!-- BBCode End --> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 19-05-2004 13:41 ]

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-05-19 12:02, Boll wrote:
<BR><!-- BBCode Start --><B>Se qualcuno, tipo Antimateria, ha voglia di corregerlo, lo prego di farlo.</B><!-- BBCode End -->
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Lol... Tutto giusto, e mi pare che una delle soluzioni ufficiali fosse identica.
<BR>Grande! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

Finalmente il mio smanettamento algebrico ha funzionato.
<BR>
<BR>Thank you very much, Mind. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

Sapete se esista una soluzione piu\' \"tecnica\", magari che faccia riferimento al criterio di divisibilita\' di un numero per 2002, tramite congruenze?

Quest\'ultima cosa mi pare folle. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">

Come fai a ricercare il criterio di divisibilità di un numero non coprimo a 10? Magari si può, io non lo so fare. Credo che comunque ci sia unìaltra soluzione, ma non so trovarla. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

scusate l\'ignoranza ma perke\' e\' importante che un numero sia coprimo a 10 per trovarne il criterio di divisibilita\'?
<BR>Grazie

se proprio vuoi usare le congruenze ti consiglio di trovare un multiplo di 1001 la cui somma delle cifre da 2002, poi ponendo questo numero pari, ottieni la soluzione del tuo problema. (PS: 1001=7*11*13 10=2*5)

Ho trovato una cosa abbastanza interessante ma non so se è vera:
<BR>dimostrare che se MCD(p,q)=1 e p==1 mod(q) allora esiste una potenza di q congrua ad 1 modulo p

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-05-20 22:46, MASSO wrote:
<BR>Ho trovato una cosa abbastanza interessante ma non so se è vera:
<BR>dimostrare che se MCD(p,q)=1 e p==1 mod(q) allora esiste una potenza di q congrua ad 1 modulo p
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>E\' vero, ed e\' noto come teorema di Fermat-Eulero.
<BR>Nota pero\' che l\'ipotesi p==1 mod(q) e\' superflua (ed oltretutto implica gia\' MCD(p,q)=1), e che una delle potenze di q congrue a 1 modulo p e\' phi(p), ovvero il numero di interi positivi k<p tali che MCD(k,p)=1.