Il punto e\': cosa intendiamo veramente come \"base\" quando parliamo di assiomi?
<BR>Volendo, possiamo assumere come \"assiomi\" le proprieta\' delle operazioni di |R, che sono una quindicina di proprieta\' tra cui per esempio queste:
<BR>
<BR>X+Y=Y+X (commutativa)
<BR>X<Y => X+Z < Y+Z (buon comportamento del < con +)
<BR>Ogni insieme limitato superiormente ha un \"estremo superiore\" (non necessariamente incluso nell\'insieme stesso) (assioma di completezza)
<BR>
<BR>e costruire una teoria di |R completamente funzionante che parte solo da questi assiomi. (tutta l\'analisi funziona perfettamente, se si prende |R come \"assiomatico\" in questo senso).
<BR>Pero\' possiamo scendere a un livello piu\' basso e \"costruire\" |R a mano, partendo dai soli naturali (e quindi dagli assiomi di Peano): l\'idea e\' di prendere |Q e aggiungere tutti gli elementi che sono \"limite di una successione in |Q.
<BR>in questo caso quelli che prima chiamavamo assiomi adesso diventano teoremi, perche\' abbiamo spostato il nostro punto di vista e siamo partiti da \"piu\' in basso\".
<BR>Scendendo ancora piu\' a fondo, possiamo partire dalla sola teoria degli insiemi, che ha degli assiomi di livello ancora piu\' basso, del tipo:
<BR>-due insiemi si dicono uguali se hanno gli stessi elementi
<BR>-esiste un\'insieme vuoto
<BR>-l\'unione di un \"insieme di insiemi\" e\' ancora un insieme
<BR>(i cosiddetti \"assiomi di Zermelo-Fraenkel\"): a questo punto possiamo costruire in modo insiemistico gli stessi naturali, e quelli che nella teoria di Peano chiamavamo \"assiomi\" diventano adesso teoremi.
<BR>(anche se la sto facendo eccessivamente semplice, ci sono alcuni problemi che sto sorvolando e per cui il buon Anti non manchera\' di rimproverarmi <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> )
<BR>
<BR>Poi quando si studia, per esempio, la teoria dei gruppi si adotta un punto di vista ancora diverso: si decide di chiamare \"assiomi\" tre proprieta\' base, cioe\':
<BR>Dato un insieme G e un\'operazione (che chiameremo +) che manda due elementi di G in un elemento di G
<BR>1) + e\' associativa
<BR>2) esiste un elemento (che chiameremo 0) t.c. 0+a=a+0=a per ogni a in G
<BR>3) per ogni elemento a, esiste un elemento (che chiameremo \"-a\" t.c. a+(-a)=0
<BR>Ora, questi sono assiomi in un senso ancora diverso: infatti possiamo prendere come modello della teoria dei gruppi qualunque insieme che soddisfi le tre proprieta\' elencate: ad esempio (Z,+), ma anche (R,+) oppure (reali positivi, x) oppure (interi modulo 5, \"+\" modulo 5).
<BR>Questi non sono strettamente parlando \"assiomi\" che permettono di definire qualcosa, come quelli precedenti, ma semplicemente partiamo da questi assiomi per costruire una teoria e dimostrare dei teoremi che poi sono validi per qualunque coppia (insieme,operazione) che soddisfi gli assiomi stessi (ad esempio, questo semplice teorema: se a+h=b+h, allora a=b).
<BR>(e, chiaramente, non riusciremo a dimostrare quei teoremi che sono veri in alcune \"incarnazioni\" della teoria dei gruppi ma non in altre: per esempio, \"non esiste n tale che a+a+...+a (n volte) =0\", che e\' falso negli interi modulo un certo numero).
<BR>
<BR>In sostanza, la risposta e\': si\', la commutativita\' del + e\' un assioma, se vogliamo, ma tutto questo dipende dal contesto in cui stiamo parlando, da cosa stiamo cercando di \"costruire\" e da dove partiamo.
<BR>(e, se si e\' un professore di liceo, bisognerebbe cercare di far capire tutto questo ai propri alunni se si vuole parlare di assiomi).
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<BR>ciao, spero di aver risolto qualche dubbio...
<BR>--federico