OliForum Matematico

ABC è un simpaticissimo triangolo qualsiasi; P un amichevole punto al suo interno... vi sono tre cordiali ceviane p,q,r che partono da A,B,C e passano per P. Compare a questo punto una accogliente circonferenza in cui ABC è inscritto e le rette p,q,r la incontrano in D,E,F rispettivamente, di modo che i timidi segmenti AD, BE, CF contengano tutti e tre il sunnominato punto P.
<BR>Ora, proiettiamo, in un momento di malsana generosità, l\'onnicitato punto P sui tre lati di ABC ottenendo tre punti H,K,J uno per lato (o prolungamento del medesimo dall\'opportuna parte).
<BR>Ebbene, siamo tutti qui riuniti in questo gioviale consesso per osservare la mirabile similitudine tra i triangoli DEF (circumceviano in ABC del punto P) e HJK (pedale in ABC del punto P); sarebbe ora carino che qualcuno ora si alzasse in piedi e, calice alla mano, declamasse la dimostrazione di questa millantata parentela tra i due trilateri.
<BR>
<BR>(non credevo che un problema di geometria potesse essere reso così lungo...magari vi parrà meno orrorifico, messo in questi termini, anche se mi sarebbe piaciuto molto di più fare un post di due righe con scritto:
<BR>
<BR>\"Dimostrare che in un triangolo ABC, per ogni punto P al suo interno, il triangolo circumceviano di P è simile al triangolo pedale di P.\"
<BR>
<BR>non l\'ho potuto fare...pazienza, mi son divertito lo stesso ed ho allungato già in partenza un forum che sarà come al solito assai breve, tra l\'incuria dei molti e le risposte sintetico ermetiche dei pochi) <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

Sia :H su AB,K su BC,J su AC.
<BR>Poniamo (si tratta di angoli):
<BR>CAD=a,DAB=b,ABE=c,EBC=d,BCF=e,ACF=f.
<BR>Si avra\':
<BR>CFD=CAD=a
<BR>DEB=DAB=b
<BR>EDA=ABE=c
<BR>EFC=EBC=d
<BR>FEB=BCF=e
<BR>ADF=ACF=f
<BR>perche\' coppie di angoli alla circonf. che insistono sullo stesso arco.
<BR>Osserviamo ora che i quadrilateri AHPJ,BHPK e CKPJ sono inscrittibili
<BR>per avere, ognuno, due angoli opposti retti e quindi si trae che:
<BR>PHJ=PAJ=a ; PJH=PAH=b
<BR>PKH=PBH=c ;PHK=PBK=d
<BR>PJK=PCK=e ;PKJ=PCJ=f
<BR>per lo stesso motivo di cui sopra.
<BR>In tal modo si vede che i triangoli DEF ed HKJ sono effettivamente
<BR>simili per avere gli angoli congruenti in quanto somme di angoli congruenti.
<BR>
<BR>
<BR> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 06-06-2004 01:14 ]

Cavoli nn è possibile. Una volta che avevo tempo di provare a fare seriamente un esercizio (è finita la scuolaaa!) proposto da EvaristeG, che l\'avevo risolto (nn era poi impossibile) e che potevo riempire un post di frasi ironiche, dopo essermi letto tutti i commentini passati di EvaristeG, arriva karl a rovinarmi tutto.......merda

Ecco la possibilità di rifarti, Info.
<BR>
<BR>Trovare il rapporto tra l\'area del t. circumceviano di P e l\'area del t. pedale di P.
<BR>Trovare l\'area del t. pedale di P.
<BR>
<BR>PS : le mie non sono frasette ironiche, sono sconsolate constatazioni...

Purtroppo questa nn è una soluzione ma solo un inizio, magari anche inutile.
<BR>
<BR>Le aree di due triangoli simili stanno tra loro come i quadrati dei lati omologhi. Inoltre, appunto perchè lati di triangoli simili i lati dei due triangoli stanno tra loro come i raggi dei cerchi circoscritti (si usi il teorema della corda). Il raggio del cerchio circoscritto al triangolo ceviano è quello circoscritto al triangolo iniziale e vale abc / 4S. Questo è fisso per ogni punto P quindi.
<BR>Da qui, se esiste una soluzione nn variabile a seconda del punto P(supposizione), bisogna dimostrare che il raggio del cerchio circoscritto al triangolo pedale è costante e quindi uguale al raggio del cerchio inscritto che è pari a S/p (cosa che a dire la verità mi sembra un pò anzi alquanto strana)...Come fare questo punto ora?
<BR>
<BR>Fino a quà le supposizioni sono corrette?
<BR>
<BR>Ho scritto questo msg anche per dire agli altri di rispondere pure. Magari dal post vecchio qualcuno ha equivocato. Nn mi interessa rispondere solo per rispondere, mi interessava spedire \'quella\' soluzione per scrivere bellissime frasette ironiche....
<BR>
<BR> Ciao

Hmm no, non è indipendente da P...cmq la tua strada non è sbagliata!!

Allora dovrò esprimere il risultato in funzione di qualcosa. Cosa è questo qualcosa?