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Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da Simo_the_wolf
<!-- BBCode Start --><B>Questa e\' la generalizzazione della generalizzazione di un facile problema IMO:</B><!-- BBCode End -->
<BR>Per ogni reale positivo x, trovare l\'insieme dei reali positivi la cui somma sia x, ed il prodotto sia massimo.
<BR>
<BR>Qua vi voglio... (non riesco purtroppo a fare l\'ultimo passaggio)
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da MindFlyer
Non è proprio una generalizzazione, perchè il problema IMO non è un suo sottocaso...
<BR>
<BR>Allora, facciamo così:
<BR>
<BR>- definiamo f(n)=n<sup>n</sup>/(n-1)<sup>n-1</sup>, per ogni n>1 intero, e f(1)=0.
<BR>
<BR>- f(n) è strettamente crescente: lo si dimostra facilmente in modo diretto, oppure ricorrendo al famoso risultato di analisi relativo alla definizione di <!-- BBCode Start --><I>e</I><!-- BBCode End -->.
<BR>
<BR>- Preso un x reale positivo, sia n il più grande intero tale che x>=f(n). Vogliamo dimostrare che la scomposizione di x con prodotto massimo è costituita da n numeri tutti uguali a x/n, e con prodotto (x/n)<sup>n</sup>.
<BR>
<BR>- Anzitutto, è noto che il prodotto di k reali positivi con somma fissata è massimo quando questi sono tutti uguali: è un\'immediata conseguenza del fatto che media aritmetica >= media geometrica, con uguaglianza se i numeri coincidono. Quindi, tra tutte le scomposizioni di x in k numeri, consideriamo solo quelle in numeri della forma x/k, e con prodotto (x/k)<sup>k</sup>.
<BR>
<BR>- Resta da stabilire qual è il k migliore, e questo si trova constatando che (x/k)<sup>k</sup>>=(x/(k-1))<sup>k-1</sup> equivale a x>=f(k). Quindi, il numero n trovato prima è proprio quello che massimizza il prodotto.[addsig]