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Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da karl
Determinare,per via elementare e dunque senza l\'uso del calcolo,
<BR>il minimo di u(x,y,z)=x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>+z<sup>2</sup>,
<BR>sotto la condizione :ax+by+cz=k con a,b,c,k costanti reali.
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da karl
Colgo l\'occasione di questo mio post ,per informare
<BR>chi fosse interessato a qualche mio lavoro d\'informatica
<BR>che ho elaborato alcuni programmi in DELPHI ,di cui
<BR>do un elenco:
<BR>1)Datagraf.zip-->graficizza dati discreti in piu\' modi:barre ,nastri,piramidi,coni etc.
<BR>2)Discussione.zip-->esegue la discussione di una equazione
<BR>parametrica di 2° grado
<BR>3)Equa3.zip-->risolve una equazione di 3° grado ,restituendo
<BR>tutte le sue radici (reali ed immaginarie)
<BR>4)Minimath.zip---> un Derive in miniatura, tutto da provare.
<BR>I programmi non contengono parti sotto copyright e sono
<BR>quindi assolutamente \"freeware\";essi sono eseguibili
<BR>autosufficienti:basta solo dezipparli in una
<BR>qualunque directory.
<BR>Li potete scaricare al seguente indirizzo:
<BR>
http://mio.discoremoto.virgilio.it/karl
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da MindFlyer
Non so se sia abbastanza elementare, comunque proviamo così:
<BR>
<BR>- u(x, y, z) rappresenta il quadrato della distanza dall\'origine di un punto nello spazio, mentre ax+by+cz=k rappresenta un piano. Quindi, per risolvere il problema basta trovare il punto del piano più vicino all\'origine.
<BR>
<BR>- Questo si trova prendendo la retta perpendicolare al piano, che in forma parametrica è (at, bt, ct). Si dimostra che è perpendicolare al piano facendo un prodotto scalare... o anche in altri modi più elementari.
<BR>
<BR>- Ora basta cercare il punto P in cui la retta interseca il piano, e calcolare u(P<sub>x</sub>, P<sub>y</sub>, P<sub>z</sub>). Viene a<sup>2</sup>t+b<sup>2</sup>t+c<sup>2</sup>t=k, da cui t=k/(a<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>+c<sup>2</sup>).
<BR>
<BR>- Il minimo è quindi u(ak/(a<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>+c<sup>2</sup>), bk/(a<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>+c<sup>2</sup>), ck/(a<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>+c<sup>2</sup>)) = k<sup>2</sup>/(a<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>+c<sup>2</sup>).
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da ma_go
alternative solution...
<BR>poniamo a²+b²+c² = d,
<BR>ax+by+cz = a²(x/a) + b²(y/b) + c²(z/c) = k,
<BR>x²+y²+z² = a²(x/a)² + b²(y/b)² + c²(z/c)² = m.
<BR>ora applichiamo la disuguaglianza tra le medie ponderate, per ottenere
<BR>sqrt(m/d) >= k/d, quindi m >= k²/d = k²/(a²+b²+c²).
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da MindFlyer
Come fai a garantire che il minimo teorico sia effettivamente raggiunto?
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da ma_go
beh, facciamo un po\' gli sboroni.. proponiamo la generalizzazione: massimizzare x<sup>p</sup> + y<sup>p</sup> + z<sup>p</sup> per p<1, minimizzarlo per p>1, sotto la stessa condizione...
<BR>
<BR>ps. domanda di una mia compagna di classe, leggendo il tema di matematica: \"cosa significa massimizzare?\".
<BR>pps. costei è uscita con la media del 9,5.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: ma_go il 18-06-2004 13:36 ]
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da ma_go
uh, x/a = y/b = z/c.
<BR>sostituisci nella condizione e ricavi
<BR>x = ak/d, y = bk/d, z = ck/d. sostituisci e verifichi.
<BR>bravo a ricordarmelo <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da karl
La mia soluzione.
<BR>Si puo\' ricorrere alla nota identita\':
<BR>(x^2+y^2+z^2)*(a^2+b^2+c^2)=
<BR>=(ax+by+cz)^2+(bx-ay)^2+(cx-az)^2+(cy-bz)^2
<BR>Da questa relazione,tenuto conto che ax+by+cz=k,si vede chiaramente
<BR>che il minimo si ottiene quando i tre quadrati di binomio
<BR>sono nulli,ovvero quando:
<BR>x/a=y/b=z/c ,relazioni che ,insieme con ax+by+cz=k,permettono
<BR>di trovare x,y,z ed il minimo richiesto.
<BR>
<BR>
<BR>