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Sia ABC un triangolo e siano A\' A\'\' sui prolungamenti di AB e AC dalla parte di A (insomma, A sta tra A\' e B, tra A\'\' e C) tali che AA\'=AA\'\'=BC; similmente siano B\' B\'\' sui prolungamenti di BC, BA con BB\'=BB\'\'=AC e C\' C\'\' sui prolungamenti di AC,BC con CC\'=CC\'\'=BA.
<BR>Dimostrare che l\'area dell\'esagono A\'A\'\'B\'B\'\'C\'C\'\' è almeno 13 volte l\'area di ABC.

allora...
<BR>non è difficile... indichiamo con S l\'area del triangolo ed S\' l\'area dell\'esagono. a,b,c,A,B,C sono elementi standard del triangolo, R è il raggio della circonferenza circoscritta..
<BR>ricordiamo che 4SR = abc, a = 2RsenA, b = 2RsenB, c = 2RsenC.
<BR>2S\' = a²senA + b²senB + c²senC + (b+c)²senA + (c+a)²senB + (a+b)²senC - 2S.
<BR>ora, 4S\'R = a³+b³+c³ + (b+c)²a + (c+a)²b + (a+b)²c - abc
<BR>applichiamo le disuguaglianze tra le medie (cubica per i primi tre termini, e tre volte aritmetica, confrontate con la geometrica) per ottenere (quasi) direttamente la tesi.

Ok, era facile...
<BR>
<BR>Dato un tetraedro in cui la somma degli spigoli opposti è 1, dimostrare che la somma dei raggi dei cerchi inscritti delle quattro facce è al più 1/sqrt(3) con l\'uguaglianza se e solo se il tetraedro è regolare.
<BR>
<BR>Questo è un po\' più impegnativo. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 23-06-2004 00:55 ]

Non riesco a conciliare la tesi con la seguente osservazione: se il tetraedro tende (\"schiacciandosi\") ad un triangolo questo deve essere equilatero di lato unitario e, in questo caso, il raggio del cerchio inscritto e\' la meta di quanto mi aspetterei dalla tesi declamata nel problema.
<BR>
<BR>Dove sta l\'ighippo?
<BR>
<BR>-----
<BR>Come non detto ...
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<BR>ho \"visto\" male il risultato della trasformazione di \"schiacciamento\".
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<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 23-06-2004 16:11 ]

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-06-23 16:08, sprmnt21 wrote:
<BR>Dove sta l\'ighippo?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Nel fatto che non puoi schiacciare il tetraedro a piacere, per il vincolo sugli spigoli.
<BR>
<BR>EDIT: Ops, te n\'eri accorto da solo... scusa. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
<BR>
<BR>RI-EDIT: In realta\' puoi schiacciarlo fino ad un triangolo equilatero, ma non di lati unitari: cosi\' gli altri 3 raggi non sono nulli, e tutto torna.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: MindFlyer il 23-06-2004 16:27 ]

non solo ho visto male lo \"schiacciamento\" ma, ancora piu\' grave, ho cercato di confutare che il massimo della somma potesse essere quello dichiarato sulla base di un (presuynto) controesempio che dava un valore meta\'.
<BR>Morale della favola: bisogna almeno leggere con attenzione il teso del problema!
<BR>
<BR>va beh ... avrei un\'idea di come fare in linea teorica ad impostare la cosa, ma se non c\'e\' una scorciatoia vengono talmente tanti conti che non la comincio neppure.
<BR>

Ah, era un massimo? LOL!
<BR>
<BR>Comunque, se puo\' essere utile, si dimostra che esiste una sfera tangente a tutti gli spigoli del tetraedro. E direi che <!-- BBCode Start --><I>puo\'</I><!-- BBCode End --> essere utile!

Premessa.
<BR>Siano m,n,p i segmenti (distinti) che in un triangolo vanno
<BR>da un vertice verso un punto di contatto.E\' facile dimostrare
<BR>che il raggio inscritto r e\' dato da:
<BR><!-- BBCode Start --><B>r=sqrt[mnp/(m+n+p)]</B><!-- BBCode End -->
<BR>Da qui ,applicando AM-GM,si ottiene:
<BR>r<=sqrt[(m+n+p)^3/(27*(m+n+p))]=(m+n+p)/(3sqrt(3))
<BR>ed ancora,tenuto conto che m+n+p=semiperimetro,si ha:
<BR><!-- BBCode Start --><B>r<=(a+b+c)/(6sqrt(3))</B><!-- BBCode End --> essendo a,b,c i lati del triangolo.
<BR>Applichiamo ora questa formula alle 4 facce del tetraedro:
<BR>r(ABC)<=(AB+AC+BC)/(6sqrt(3))
<BR>r(ABV)<=(AB+AV+BV)/(6sqrt(3))
<BR>r(ACV)<=(AC+AV+VC)/(6sqrt(3))
<BR>r(BCV)<=(BC+BV+CV)/(6sqrt(3)) e sommando:
<BR>Sum(r)<=[(AB+CV)+(AC+BV)+(BC+AV)]/(3sqrt(3) ovvero:
<BR>Sum(r)<=(1+1+1)/(3sqrt(3)=1/sqrt(3)
<BR>l\'eguaglianza avendosi se i sei spigoli risultano uguali.
<BR>
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 23-06-2004 17:55 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 23-06-2004 17:56 ]

Ciao
<BR>
<BR>E\' vero che:
<BR>
<BR>(x+y+z)^3>=9z(x^2+xy+y^2) con x,y,z reali positivi ???
<BR>
<BR>
<BR>ciao

Falso.
<BR>Per x=17,y=1,z=10 si ha:
<BR>(x+y+z)^3=28^3=21952
<BR>9z(x^2+xy+y^2)=90(289+17+1)=27630.
<BR>

ok grazie
<BR>
<BR>Un controesempio era quello che mi serviva <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

Un controesempio piu\' semplice e\' y=z=1. Se x tende a 0, i termini tendono a 8 e 9. Quindi per la loro continuita\' esiste un x abbastanza piccolo che fa fallire la disuguaglianza.