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Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da Franchifis
Si ha la seguente serie per n>2:
<BR>
<BR>cos(pi/3)
<BR>cos(pi/4)
<BR>cos(pi/5)
<BR>...
<BR>cos(pi/n)
<BR>
<BR>Calcolare il prodotto di tutti i termini della serie per n che tende a +inf.
<BR>In effetti e\' il prodotto di infiniti numeri <1 ma io ho la dimostrazione che non fa 0 e se volete la posto (anche se e\' un po\' lunga). Non mi convince affatto!
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da gippo
Il fatto che tutti i fattori siano < 1 non implica affatto che il prodotto sia zero. Di sicuro conoscerai il limite per n->inf di (1 - 1/n)^n, che fa 1/e.
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da Franchifis
Mhm, non ci avevo pensato. In effetti hai proprio ragione, che cose strane che si scoprono con l\'analisi! (io ho appena cominciato a studiare i limiti percio\' sono rimasto tanto sorpreso)
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da gippo
E\' lo stesso concetto del paradosso di Achille: se sommi inifiniti numeri positivi che tendono a zero, non é detto che il risultato sia +inf. Cosi` se moltiplichi infiniti numeri positivi che tendono a 1(+), non é detto che ottieni +inf e se tendono a 1(-) non é detto che ottieni zero.
<BR>Spero di esserti stato di aiuto.
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da MindFlyer
Un esempio ancora migliore di quello di gippo (anche se meno elementare) è la formula di Wallis \"invertita\". Qui infatti i termini della produttoria non variano tra i prodotti parziali:
<BR>
<BR>Prod[1-1/(4n^2)] = 2/Pi.
<BR>(con n che va da 1 a +inf.)
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da Simo_the_wolf
Se proprio vogliamo citarne altre <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> abbiamo che:
<BR>
<BR>prod[1-(1/p)^n]*=1/zeta(n)
<BR>
<BR>e per n>1 zeta(n) ha un valore finito.
<BR>
<BR>*p vuol dire primo