OliForum Matematico

Trovare le terne (x,y,z) di interi che soddisfano
 
 x^2+y^3=z^6
 
 Visto che geometria non la fa nessuno e teoria dei numeri è amata e venerata, eccovela...
 
 Nota Bene : non è affatto difficile, non buttatevici sopra tutti, lasciate qlcosa anche per chi è meno veloce a postar soluzioni.

Giusto per provare, ho fatto girare un piccolo
 programma per trovare (brutalmente) qualcuna
 delle terne richieste.
 Orbene il programma ha calcolato (in un ampio range)
 solo terne con componenti non tutte positive o
 non tutte diverse da 0,quindi nessuna con componenti
 in N-{0}
 E\' possibile?

E\' possibile ed è anzi esatto...una cosa carina di quella diofantea è proprio che non è risolvibile se ci si limita agli interi positivi (strettamente). <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 
 Ma ora, che qualcuno (possibilmente non i soliti) si dia da fare a risolverla

Ma fa proprio così schifo?!?

per ora mi sono ridotto ad a^3+b^3=2z^3, dimostrare che non ha soluzioni intere, magari se qualcuno ha voglia di cercare qualche congruenza carina in cui si trova un assurdo...

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-09-28 22:29, ReKaio wrote:
 
 per ora mi sono ridotto ad a^3+b^3=2z^3, dimostrare che non ha soluzioni intere...
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Ha soluzioni eccome: a=b=z, a=-b e z=0. Ne ha infinite... [ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 28-09-2004 22:49 ]

in quel caso tornando in x,y,z si trova (0,k^2,k) (k^3,0,k), diciamo soluzioni non banali ^^
 
 diciamo che a!=±b [ Questo Messaggio è stato Modificato da: ReKaio il 28-09-2004 22:57 ]

Sì, era evidente che intendevi non banali, ma non l\'hai scritto... Comunque io avevo già letto di questa diofantea e quindi non intervengo nella sua risoluzione (mi sembra ingiusto), ma posso dirti che congruenze \"lampanti\" non ce ne sono; devi dunque supporre che esistano terne (a, b, z) di soluzioni non trivial e prendere quella che ha il minor valore di z (in modulo)...
 
 Buon Divertimento!
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-09-28 20:05, EvaristeG wrote:
 Ma fa proprio così schifo?!?
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Veramente è bellissima...
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 28-09-2004 23:24 ]

(3,-2,1) è sol e quindi anke
 (3k^3,-2k^2,k)
 
 non so se sono tutte le sol possibili xò...non sono banalissime <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">

Vi premetto che non sono un esperto anzi sono un ignorante che mi voglio avvicinare alla matematica :
 
 Comunque questa e\' la mia deduzione che vorrei avesse riscontro da voi matematici :
 y= -(2z^2)
 x= 3z^3
 a) z= -(2z^2)+3z^3(PER DETERMINARE LE TRIPLETTE POSSIBILI)
 b) z^6=-8z^6+9z^6 ---> z^6 = z^6
 
 
 Questa e\' la tabella da cui ho tirato fuori le formule :
 
 
 1 -2 3
 2 -8 24
 3 -18 81
 4 -32 192
 5 -50 375
 ecc.
 
 fatemi sapere .
 
 A disposizione per chiarimenti .
 
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: ninja il 30-09-2004 13:14 ] [ Questo Messaggio è stato Modificato da: ninja il 30-09-2004 14:33 ]

Dunque, ninja, la questione è la seguente :
 la domanda è di trovare tutte le possibili soluzioni intere di quella equazione, il che significa implicitamente dare anche una dimostrazione del fatto che quelle che esponi sono effettivamente soluzioni e non ce ne sono altre. Una dimostrazione deve partire dall\'equazione x^2+y^3=z^6 e cercare di dedurre da \"come è fatta\" questa formula le proprietà che necessariamente devono avere le terne di numeri (a,b,c) che la soddisfano fino a restringere a sufficienza l\'insieme delle terne possibili per poi verificare che tutte queste terne sono in realtà soluzioni.
 Se ho capito quel che hai scritto, tu osservi cosa succede sostituendo a x,y,z alcuni numeri particolari, da qui trovi una regola generale che ti potrebbe fornire le soluzioni.
 Questo procedimento è ottimo per capire come fare un problema, ma non ne costituisce una soluzione, poichè non è detto che se una cosa funziona per un po\' di interi debba funzionare necessariamente anche per gli altri; simile procedimento non ti garantisce nemmeno che quelle che trovi siano tutte le possibili soluzioni.
 Inoltre, i conti che fai non sono proprio trasparenti...
 se vuoi ottenere
 z^6=(3z^3)^2+(-2z^2)^3
 (che effettivamente porta ad individuare alcune possibili soluzioni)
 non puoi partire da
 z=(3z^3)+(-2z^2)
 poichè questo vuol dire
 z^6=[(3z^3)+(-2z^2)]^6
 che è ben diverso da quello che vorresti.
 
 In definitiva, il tuo calcolo in cui poni x=3z^3 e y=-2z^2 ti basta per dimostrare che le terne della forma
 (3k^3, -2k^2 , k) comunque si scelga k tra gli interi
 danno una soluzione dell\'equazione proposta.
 
 Quello che ti manca è il dimostrare che non ci sono altre soluzioni (ovvero soluzioni che non si scrivono in quella forma) oppure trovare altre forme possibili per la soluzione fino a quando non sei sicuro di averle trovate tutte e quindi dimostrare che non ve ne sono più.
 
 Saluti.
 
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

Bah...tanto per non lasciar cadere nel vuoto la questione :
 
 x^2+y^3=z^6
 
 possiamo ridurci al caso in cui (x,y,z) sono coprimi e tra queste, prendere la terna in cui Abs(z) è il più piccolo possibile.
 
 Quindi scriviamo y^3=(z^3)^2-x^2=(z^3+x)(z^3-x)
 ora:
 *) se y è dispari, i due fattori sono coprimi e quindi cubi:
 z^3+x=k^3 __________e_________z^3-x=h^3
 da cui
 h^3+k^3 = 2z^3
 *) se invece y è pari, si ha
 z^3+x=2k^3 _________e_________z^3-x=4h^3 (o viceversa con 2 e 4 scambiati)
 da cui
 -2k^3+2z^3=4h^3
 che, divisa per due, è la stessa di prima
 
 Dunque in ogni caso ci si riduce a considerare le soluzioni di
 R^3+S^3=2T^3
 con (R,S,T)=1
 
 Considerando le soluzioni \"banali\" R=S=T e R=-S, T=0 si hanno le soluzioni
 
 x=0, y=a^2, z=+/-a
 x=+/-a^3, y=-a^2, z=0
 x=+/-3a^3, y=-2a^2, z=+/-a
 
 dell\'equazione originale.
 
 Se ora dimostriamo che l\'equazione in R,S,T non ha altre soluzioni, abbiamo fatto.
 
 Visto che questa è la parte interessante della faccenda, non posto subito la soluzione e spero che qualcuno ci si metta d\'impegno, anche perchè, sinceramente, la soluzione che ho trovato io bara un poco, utilizzando un fatto dimostrabile senza problemi con tecniche elementari, ma in sè molto poco olimpico...se può aiutare, io ho supposto di avere una terna R,S,T (non \"banale\") che risolvesse in cui Abs(T) era il più piccolo possibile ed ho trovato un assurdo costruendo un\'altra soluzione R\',S\',T\' con Abs(T\')<Abs(T).
 
 buon lavoro.

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[N] Diofantea 2*3=6