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Sia data la succesione
<BR>
<BR>y_n=nx - [nx]
<BR>
<BR>con n € N e x € R , x > 0
<BR>
<BR>Dimostrare che x € Q sse y_n assume un insieme finito di valori.
<BR>[x] denota la parte intera di x.

Supponiamo che la successione abbia un numero finito di valori. allora ci saranno a e b tali che y_a=y_b e a=/=b (per il Pigeonhole). Ma allora:
<BR>ax-[ax]=bx-[bx]
<BR>x=([bx]-[ax])/(a-b)
<BR>e quindi essendo [bx]-[ax] un intero e anche a-b allora x sarà razionale.
<BR>
<BR>La freccia inversa è banale xkè la successione diventa periodica di periodo q dove x=p/q con p e q primi fra loro