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Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da kemhONE
Trovare tutte le soluzioni (reali e\\o complesse) dell\'equazione
<BR>
<BR>2x^3-x^2+y^2=2y^3-y^2+x^2=1
<BR>
<BR>
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da Boll
Non so se sia particolarmente sensato ciò che sto dicendo, ma provo lo stesso, insultatemi e correggetimi, vi prego, se sbaglio.
<BR>
<BR>Abbiamo il sistema
<BR>2x<sup>3</sup>-x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>=1
<BR>2y<sup>3</sup>-y<sup>2</sup>+x<sup>2</sup>=1
<BR>
<BR>sommiamo membro a membro e otteniamo
<BR>x<sup>3</sup>+y<sup>3</sup>=1
<BR>quindi
<BR>x<sup>3</sup>+y<sup>3</sup>=2x<sup>3</sup>-x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>
<BR>da cui
<BR>x<sup>2</sup>(x-1)=y<sup>2</sup>(y-1)
<BR>
<BR>se x,y=/= 0, l\'unica soluzione è, per calcolo diretto x=y=1/crt(2)
<BR>se x,y=0 non ci sono soluzioni
<BR>se x=0, y=1
<BR>se y=0, x=1
<BR>
<BR>quindi le uniche coppie di soluzioni sono (1/crt(2), 1/crt(2)), (1,0), (0,1)<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 07-10-2004 14:25 ]
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da DB85
Hai azzeccato le coppie reali, ma ho fatto risolvere il sistema a Derive (sai lui è un filino più veloce di me <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> ) e ti posso dire che ci sono molte altre coppie complesse, e certe sono molto... strambe! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">
<BR>E\' quasi impossibile da risovere manualmente.
<BR>
<BR>---
<BR>\"Le vite degli uomini famosi ci ricordano
<BR>Che possiamo rendere sublimi le noste esistenze
<BR>E, morendo, lasciare dietro di noi
<BR>Le nostre impronte sulle sabbie del tempo\"
<BR><!-- BBCode Start --><I>Henry Wadsworth Longfellow</I><!-- BBCode End --> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 07-10-2004 15:09 ]
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da kemhONE
Nonostante l\'insicurezza la soluzione è esatta
<BR>Per quanto riguarda i complessi, non potendo non ammettere la mia totale ignoranza nell\'uso di derive, mi sono rimboccato le maniche..
<BR>Allora...una volta arrivati a x^2+xy+y^2=x+y, definiamo a=x+y e b=xy
<BR>Quindi (ricordando che x^3+y^3=1) otteniamo il sistema
<BR>a^3-3ab=1
<BR>a^2-b=a
<BR>Sostituendo, a^3-3a(a^2-a)=1 => 2a^3-3a^2+1=0 => (2a+1)(a-1)^2=0
<BR>Se a=1, b=0 e si giunge alle soluzioni (x,y)=(1,0) o (0,1).
<BR>Se a=-1/2, b=3/4 e risolvendo il sistema
<BR>x+y=-1/2
<BR>xy=3/4
<BR>si arriva alle soluzioni (x,y)=((-1+sqr(11)i)/4,(-1-sqr(11)i)/4) e viceversa.
<BR>Ponendo x=y si dovrebbero ottenere altre soluzioni complesse ma la mia mente si rifiuta di continuare a calcolare.
<BR>