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Calcolare quanto vale
 [2002*sumi=1,1000(i/2^i)]
 dove [x] denota la parte intera di x cioè il più grande intero <= a x
 
 EDIT: Avevo sonno, Hitl... [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 09-10-2004 13:47 ]

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 [...] dove [x] denota la parte intera di x cioè il più piccolo intero <= x.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Ehm... mi permetterò di supporre che Boll avesse inteso scriverci \"il più grande\"! Questo ragazzo mi procurerà un attacco di cuore, un giorno o l\'altro...
 
 Sia detto a un qualsivoglia numero reale positivo distinto da 1. E allora, l\'equazione: ax = 1 ammette una e una sola soluzione per x \\in R, e precisamente è risolta sse x = 0. Dunque, per ogni x \\neq 0 ed ogni n intero > 0: sum[k=0...n] akx = (a(n+1)x - 1)/(ax - 1), pur di considerare che a primo membro figura la somma dei primi n+1 termini di una progressione geometrica di ragione ax \\neq 1.
 
 Ergo, derivando a destra e a sinistra rispetto ad x, supposto x variabile in R0, e semplificando alla meglio l\'espressione risultante, si deduce che, per ogni x \\in R0 ed ogni n \\in N0:
 
 <center>sum[k=1...n] k · akx = [ax/(ax - 1)2] · [n · a(n+1)x - (n+1) · anx + 1].</center>
 
 Di qui, ponendo x = 1 ed a = 1/2, si conclude che, per ogni n intero > 0: sum[k=1...n] k/2k = 2 · [n/2n+1 - (n+1)/2n + 1] = 2 · [1 - (n+2)/2n+1]; cosicché, detta Floor(-) la funzione che ad ogni x \\in R fa corrispondere la sua parte intera bassa: Floor(2002 · sum[k=1...1000] k/2k) = Floor[4004 - (1002 · 4004)/21001] = [Vedi nota (1)] = 4004 + Floor[- (1002 · 4004)/21001].
 
 Ora: 0 < (1002 · 4004)/21001 < (210 · 212)/21001 < 1, per cui: - 1 < - (1002 · 4004)/21001 < 0, e quindi: Floor[- (1002 · 4004)/21001] = -1. Se ne conclude che: Floor(2002 · sum[k=1...1000] k/2k) = 4003.
 
 (1): si ricordi che, per ogni n \\in Z ed ogni x \\in R: Floor(n + x) = n + Floor(x).
 
 EDIT: html...
 
 
 \"One must watch the convergence of a numerical code as carefully as a father watching his four year old play near a busy road.\" - J. P. Boyd [ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 09-10-2004 11:48 ]

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 [...] Per ogni n intero > 0: sum[k=1...n] k/2k = 2 · [1 - (n+2)/2n+1].
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Oh, naturalmente, la formula si può anche dimostrare per via induttiva, evitandosi pertanto il ricorso alle derivate:
 
 i) l\'identità è banale per n = 1, dacché: (sum[k=1...n] k/2k)n = 1 = 1/2, e similmente: (2 · [1 - (n+2)/2n+1])n = 1 = 2 · (1 - 3/4) = 1/2;
 
 ii) supponendone la consistenza per un generico n intero > 0, si trova quindi che: sum[k=1...n+1] k/2k = [Dissociando le somme] = sum[k=1...n] k/2k + (n+1)/2n+1 = [Dall\'ipotesi di induzione] = 2 · [1 - (n+2)/2n+1] + (n+1)/2n+1 = 2 - (2n+4)/2n+1 + (n+1)/2n+1 = 2 - (n+3)/2n+1 = 2 · (1 - [(n+1) + 2]/2(n+1)+1).
 
 Di qui, per induzione, l\'asserto, q.e.d.
 
 
 \"Ma no, ma no... fra di noi non c\'è nient\'altro che una magnifica amicizia. E poi, scusami... che c\'è di male se gli lavo le mutande? In fondo, lui si tuffa in acqua e mi porta tutti i giorni il pesce ancora vivo!!!\" - la tv <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 09-10-2004 10:21 ]

Davvero molto carina questa sommatoria. Peccato che l\'abbia vista solo stamattina, già provvista della puntuale e precisa soluzione di HiTLeuLeR, che mi ha negato di spendere qualche felice momento ragionandoci sopra, magari anche infruttousamente <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 
 EDIT: Aggiunta una cosettina... [ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 09-10-2004 13:48 ]

Oh, scusami tanto! Davvero mi dispiace... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
 
 
 \"Vita vitanda repetita vita.\" - HiTLeuLeR in versione oracolare

La mia dimostrazione è identica a quella di Euler e giunge allo stesso risultato, tuttavia non utilizza Analisi (non la conosco <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">) ma solo una serie di passaggi algebrici che mi portava ad avere tante progressioni geometriche, ma la dimostrazione è lunga e non riesco ad allegarla in *.pdf [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 09-10-2004 14:32 ]

@Boll: tanto per mettere i puntini sulle \"i\" e sulle \"j\", t\'inviterei a considerare attentamente il fatto che la variante induttiva della soluzione proposta non utilizza in alcun modo gli strumenti dell\'Analisi, per cui...
 
 
 \"Ti punirò là dove più ribolle la tua lussuria.\" - Gabriele D\'Annunzio <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">

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