Ciao. Faccio un po\' il verso a Sprmnt, che spero non me ne vorrà; ma mi ha fatto tornare in mente questo che è tratto da un TST dei tempi miei. Vado a memoria, ma il testo suonava +/- così:
<BR>
<BR>Un poligono si dice <I>parallelogrammabile</I> se è tassellabile con parallelogrammi. Quali poligoni convessi [direi che ci vuole...] sono parallelogrammabili?
<BR>
<BR>Io lo avevo trovato divertente...
<BR>
<BR>Ciao.
<BR>
<BR>M.[addsig]
[G] Parallelogrammi cortonesi
Moderatore: tutor
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MindFlyer
Carino!
<BR>Per il momento riesco a parallelogrammizzare i quadrilateri, gli esagoni e gli ottagoni con i lati opposti uguali e paralleli.
<BR>Inoltre, possiamo supporre senza perdere in generalità che nessun vertice di un parallelogramma sia un punto interno di un lato di un altro parallelogramma. Questo permette di concludere, sfruttando la convessità, che in tutti i poligoni parallelogrammizzabili, ogni lato ne ha uno opposto uguale e parallelo.
<BR>Per il momento riesco a parallelogrammizzare i quadrilateri, gli esagoni e gli ottagoni con i lati opposti uguali e paralleli.
<BR>Inoltre, possiamo supporre senza perdere in generalità che nessun vertice di un parallelogramma sia un punto interno di un lato di un altro parallelogramma. Questo permette di concludere, sfruttando la convessità, che in tutti i poligoni parallelogrammizzabili, ogni lato ne ha uno opposto uguale e parallelo.
Se no ho capito male, Mindflyer ha provato che ogni poligon convesso par. e\' composto da coppie di lati opposti uguali e paralleli. Resta da provare che ogni poligono cosi fatto sia par.
<BR>
<BR>questo, secondo me, risulta sempre possibile. Basta, lavorando di tornio, \"scontornare\" il poligono di 2n lati levando la striscia che ha per estremi il lato piu\' piccolo delle n coppie, muovendosi per lati adiacenti [spero sia chiara l\'idea, anche se capisco che e\' espressa in maniera un po\' confusa]. Ci si riduce cosi ad un poligono di 2(n-1) lati. Iterando si arriva al \"nocciolo\" di quattro lati che chiude il lavoro di tornitura.
<BR>
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<BR>questo, secondo me, risulta sempre possibile. Basta, lavorando di tornio, \"scontornare\" il poligono di 2n lati levando la striscia che ha per estremi il lato piu\' piccolo delle n coppie, muovendosi per lati adiacenti [spero sia chiara l\'idea, anche se capisco che e\' espressa in maniera un po\' confusa]. Ci si riduce cosi ad un poligono di 2(n-1) lati. Iterando si arriva al \"nocciolo\" di quattro lati che chiude il lavoro di tornitura.
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MindFlyer
Sì Rocco, ho capito quello che dici, e funziona perfettamente. In pratica passi da 2n lati a 2(n-1) ritagliando esattamente n-1 parallelogrammi (d\'ora in poi, Prlgr) e seguendo il contorno del poligono. Nota che non è necessario che i lati che togli siano proprio i più piccoli.
<BR>
<BR>Invece, quello che ho dimostrato io era questo: suppongo innanzitutto che i Prlgr debbano essere in numero finito... anche se marco non l\'ha detto, ma forse è nella definizione di tassellabile.
<BR>Ora, vogliamo che i vertici di ogni Prlgr della tassellazione non siano punti interni di lati di altri Prlgr. Questo si può sempre fare, infatti basta dividere in 2 Prlgr il Prlgr che ha un vertice di un altro Prlgr come punto interno di un lato. Questa operazione genera il più un altro vertice interno ad un lato, che si può rimuovere nello stesso modo. Poiché i Prlgr sono finiti, e poiché si sposta il \"punto anomalo\" sempre nella stessa direzione, prima o poi l\'operazione ha termine, riducendo di 1 il numero di \"punti anomali\". Poiché i \"punti anomali\" sono in numero finito, si possono togliere tutti in un numero finito di passi.
<BR>Supponiamo ora che un poligono sia tassellabile, normalizziamo la sua tassellazione e consideriamo un suo lato l. Questo viene scomposto in un numero finito di parti, ognuna delle quali genera una \"striscia\" che trasla il frammento di l un numero finito di volte. Il risultato è che vi saranno k lati del poligono paralleli a l, la somma delle cui lunghezze è l. Per la convessità, si vede facilmente che questi k segmenti devono essere allineati, o non potrebbero essere lati \"estremanti\" del poligono. Quindi abbiamo dimostrato che ogni lato ne ha uno opposto parallelo l\'.
<BR>Bisogna dimostrare che i lati hanno la stessa lunghezza. E\' evidente che l\' non può essere più corto di l, altrimenti esisterebbe un frammento in cui terminano due delle k \"striscie\" di Prlgr, ma questo è impossibile (è facilissimo rendersene conto con un disegnino). D\'altra parte, anche al lato l\' corrisponde un lato parallelo l\'\' che non può essere più corto di l\'. Ma dato che ogni poligono convesso non può avere 3 lati paralleli, necessariamente l\'\' deve coincidere con l, e da questo segue che l e l\' hanno la stessa lunghezza.
<BR>Resta da provare che le coppie di lati uguali e paralleli sono ordinate nello stesso modo nel poligono. Ma questo è ovvio per la convessità: infatti, la \"pendenza\" dei lati dev\'essere monotona, perché se così non fosse il poligono avrebbe un angolo interno maggiore di un angolo piatto, e non sarebbe convesso.
<BR>
<BR>Invece, quello che ho dimostrato io era questo: suppongo innanzitutto che i Prlgr debbano essere in numero finito... anche se marco non l\'ha detto, ma forse è nella definizione di tassellabile.
<BR>Ora, vogliamo che i vertici di ogni Prlgr della tassellazione non siano punti interni di lati di altri Prlgr. Questo si può sempre fare, infatti basta dividere in 2 Prlgr il Prlgr che ha un vertice di un altro Prlgr come punto interno di un lato. Questa operazione genera il più un altro vertice interno ad un lato, che si può rimuovere nello stesso modo. Poiché i Prlgr sono finiti, e poiché si sposta il \"punto anomalo\" sempre nella stessa direzione, prima o poi l\'operazione ha termine, riducendo di 1 il numero di \"punti anomali\". Poiché i \"punti anomali\" sono in numero finito, si possono togliere tutti in un numero finito di passi.
<BR>Supponiamo ora che un poligono sia tassellabile, normalizziamo la sua tassellazione e consideriamo un suo lato l. Questo viene scomposto in un numero finito di parti, ognuna delle quali genera una \"striscia\" che trasla il frammento di l un numero finito di volte. Il risultato è che vi saranno k lati del poligono paralleli a l, la somma delle cui lunghezze è l. Per la convessità, si vede facilmente che questi k segmenti devono essere allineati, o non potrebbero essere lati \"estremanti\" del poligono. Quindi abbiamo dimostrato che ogni lato ne ha uno opposto parallelo l\'.
<BR>Bisogna dimostrare che i lati hanno la stessa lunghezza. E\' evidente che l\' non può essere più corto di l, altrimenti esisterebbe un frammento in cui terminano due delle k \"striscie\" di Prlgr, ma questo è impossibile (è facilissimo rendersene conto con un disegnino). D\'altra parte, anche al lato l\' corrisponde un lato parallelo l\'\' che non può essere più corto di l\'. Ma dato che ogni poligono convesso non può avere 3 lati paralleli, necessariamente l\'\' deve coincidere con l, e da questo segue che l e l\' hanno la stessa lunghezza.
<BR>Resta da provare che le coppie di lati uguali e paralleli sono ordinate nello stesso modo nel poligono. Ma questo è ovvio per la convessità: infatti, la \"pendenza\" dei lati dev\'essere monotona, perché se così non fosse il poligono avrebbe un angolo interno maggiore di un angolo piatto, e non sarebbe convesso.
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MindFlyer
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<BR>On 2004-10-23 18:43, MindFlyer wrote:
<BR>Poiché i Prlgr sono finiti, e poiché si sposta il \"punto anomalo\" sempre nella stessa direzione, prima o poi l\'operazione ha termine
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Ok, in realtà non è sempre la stessa direzione. Quello che intendevo è che esiste una retta rispetto alla quale il punto anomalo si allontana sempre, dopo ogni operazione. Segue, quindi, che si può spostare il punto anomalo solo un numero finito di volte, perché non si ritornerà mai a risuddividere uno stesso Prlgr della tassellazione iniziale.
<BR>On 2004-10-23 18:43, MindFlyer wrote:
<BR>Poiché i Prlgr sono finiti, e poiché si sposta il \"punto anomalo\" sempre nella stessa direzione, prima o poi l\'operazione ha termine
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Ok, in realtà non è sempre la stessa direzione. Quello che intendevo è che esiste una retta rispetto alla quale il punto anomalo si allontana sempre, dopo ogni operazione. Segue, quindi, che si può spostare il punto anomalo solo un numero finito di volte, perché non si ritornerà mai a risuddividere uno stesso Prlgr della tassellazione iniziale.
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-10-23 13:42, sprmnt21 wrote:
<BR>questo, secondo me, risulta sempre possibile. Basta, lavorando di tornio, \"scontornare\" il poligono di 2n lati levando la striscia che ha per estremi il lato piu\' piccolo delle n coppie, muovendosi per lati adiacenti [spero sia chiara l\'idea, anche se capisco che e\' espressa in maniera un po\' confusa]</BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Sì l\'idea è assolutamente corretta. Per spiegarla bene, basta prendere il poligono in questione, ciapare una coppia di lati opposti (e ||), che indivuduano un vettore V. Traslare metà dei vertici di V, lasciando la scia. I vettori-scia, i lati prima della traslazione e i lati dopo la traslazione formano una cornice di ||mi, ritagliando la quale si cala il numero dei lati di due (l\'ipotesi di lato minimo in effetti non serve).
<BR>
<BR>Per Fryer: sì, probabilmente l\'ipotesi di finitezza c\'era. (ve l\'ho detto: vado a memoria...)
<BR>
<BR>M.[addsig]
<BR>On 2004-10-23 13:42, sprmnt21 wrote:
<BR>questo, secondo me, risulta sempre possibile. Basta, lavorando di tornio, \"scontornare\" il poligono di 2n lati levando la striscia che ha per estremi il lato piu\' piccolo delle n coppie, muovendosi per lati adiacenti [spero sia chiara l\'idea, anche se capisco che e\' espressa in maniera un po\' confusa]</BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Sì l\'idea è assolutamente corretta. Per spiegarla bene, basta prendere il poligono in questione, ciapare una coppia di lati opposti (e ||), che indivuduano un vettore V. Traslare metà dei vertici di V, lasciando la scia. I vettori-scia, i lati prima della traslazione e i lati dopo la traslazione formano una cornice di ||mi, ritagliando la quale si cala il numero dei lati di due (l\'ipotesi di lato minimo in effetti non serve).
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<BR>Per Fryer: sì, probabilmente l\'ipotesi di finitezza c\'era. (ve l\'ho detto: vado a memoria...)
<BR>
<BR>M.[addsig]
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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"Well, master, we're in a fix and no mistake."
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"Well, master, we're in a fix and no mistake."
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>Supponiamo ora che un poligono sia tassellabile, normalizziamo la sua tassellazione e consideriamo un suo lato l. Questo viene scomposto in un numero finito di parti, ognuna delle quali genera una \"striscia\" che trasla il frammento di l un numero finito di volte. Il risultato è che vi saranno k lati del poligono paralleli a l, la somma delle cui lunghezze è l. Per la convessità, si vede facilmente che questi k segmenti devono essere allineati, o non potrebbero essere lati \"estremanti\" del poligono. Quindi abbiamo dimostrato che ogni lato ne ha uno opposto parallelo l\'.
<BR>Bisogna dimostrare che i lati hanno la stessa lunghezza. E\' evidente che l\' non può essere più corto di l... bla... bla...</BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Scusatemi ancora se faccio il Pierino. Ripulisco anche l\'idea di Fryer. Il fatto dei punti anomali e di sbarazzartene, in verità, non ti frega, tutto il ragionamento segue lo stesso.
<BR>
<BR>Fai così: fissa una direzione parallela ad un lato. Colora di rosso tutti i segmenti paralleli alla direzione fissata che hanno il parallelogramma sulla destra e di verde che lo hanno sulla sinistra (lo stesso segmento, se interno, viene colorato due volte, una rossa e una verde, evidentemnte). La lunghezza totale rossa è uguale alla lunghezza totale verde e i soli pezzi con un colore solo sono sul perimetro del poligono. Per convessità, tutti i pezzi rossi (verdi) sono adiacenti e la loro giustapposizione è un lato. Allora il poligono ha una coppia di lati paralleli e congruenti.
<BR>
<BR>P.S.: una curiosità: nei tuoi posts, risolvi il problema per ||grammi, esagoni, ottagoni e dodecagoni. I decagoni non ti piacevano?
<BR><IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">[addsig]
<BR>Supponiamo ora che un poligono sia tassellabile, normalizziamo la sua tassellazione e consideriamo un suo lato l. Questo viene scomposto in un numero finito di parti, ognuna delle quali genera una \"striscia\" che trasla il frammento di l un numero finito di volte. Il risultato è che vi saranno k lati del poligono paralleli a l, la somma delle cui lunghezze è l. Per la convessità, si vede facilmente che questi k segmenti devono essere allineati, o non potrebbero essere lati \"estremanti\" del poligono. Quindi abbiamo dimostrato che ogni lato ne ha uno opposto parallelo l\'.
<BR>Bisogna dimostrare che i lati hanno la stessa lunghezza. E\' evidente che l\' non può essere più corto di l... bla... bla...</BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Scusatemi ancora se faccio il Pierino. Ripulisco anche l\'idea di Fryer. Il fatto dei punti anomali e di sbarazzartene, in verità, non ti frega, tutto il ragionamento segue lo stesso.
<BR>
<BR>Fai così: fissa una direzione parallela ad un lato. Colora di rosso tutti i segmenti paralleli alla direzione fissata che hanno il parallelogramma sulla destra e di verde che lo hanno sulla sinistra (lo stesso segmento, se interno, viene colorato due volte, una rossa e una verde, evidentemnte). La lunghezza totale rossa è uguale alla lunghezza totale verde e i soli pezzi con un colore solo sono sul perimetro del poligono. Per convessità, tutti i pezzi rossi (verdi) sono adiacenti e la loro giustapposizione è un lato. Allora il poligono ha una coppia di lati paralleli e congruenti.
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<BR>P.S.: una curiosità: nei tuoi posts, risolvi il problema per ||grammi, esagoni, ottagoni e dodecagoni. I decagoni non ti piacevano?
<BR><IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">[addsig]
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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"Well, master, we're in a fix and no mistake."
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MindFlyer
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-10-25 09:03, marco wrote:
<BR>P.S.: una curiosità: nei tuoi posts, risolvi il problema per ||grammi, esagoni, ottagoni e dodecagoni. I decagoni non ti piacevano?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>No, è che mi ero quasi convinto che non si potessero fare, e stavo per classificare il problema come un brutto problema. Infatti facevo gli ottagoni con 13 Prlgr e i dodecagoni con 33 Prlgr, e non mi ero accorto che la costruzione generale più ovvia di tutte era quella giusta.
<BR>On 2004-10-25 09:03, marco wrote:
<BR>P.S.: una curiosità: nei tuoi posts, risolvi il problema per ||grammi, esagoni, ottagoni e dodecagoni. I decagoni non ti piacevano?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>No, è che mi ero quasi convinto che non si potessero fare, e stavo per classificare il problema come un brutto problema. Infatti facevo gli ottagoni con 13 Prlgr e i dodecagoni con 33 Prlgr, e non mi ero accorto che la costruzione generale più ovvia di tutte era quella giusta.