OliForum Matematico

Secondo me e\' piuttosto difficile, provate voi...
 
 trovare tutte le soluzioni intere di x^2+y^3=z^6
 
 ciao

L\'hanno già proposta un mesetto fa mattew. Mi pare che nessuno sia arrivato alla sol.

non lo sapevo, grazie boll...
 ah, eccolo:
 http://olimpiadi.sns.it/modules.php?op= ... 5&start=10
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-10-08 23:40, EvaristeG wrote:
 Bah...tanto per non lasciar cadere nel vuoto la questione :
 
 x^2+y^3=z^6
 
 possiamo ridurci al caso in cui (x,y,z) sono coprimi e tra queste, prendere la terna in cui Abs(z) è il più piccolo possibile.
 
 Quindi scriviamo y^3=(z^3)^2-x^2=(z^3+x)(z^3-x)
 ora:
 *) se y è dispari, i due fattori sono coprimi e quindi cubi:
 z^3+x=k^3 __________e_________z^3-x=h^3
 da cui
 h^3+k^3 = 2z^3
 *) se invece y è pari, si ha
 z^3+x=2k^3 _________e_________z^3-x=4h^3 (o viceversa con 2 e 4 scambiati)
 da cui
 -2k^3+2z^3=4h^3
 che, divisa per due, è la stessa di prima
 
 Dunque in ogni caso ci si riduce a considerare le soluzioni di
 R^3+S^3=2T^3
 con (R,S,T)=1
 
 Considerando le soluzioni \"banali\" R=S=T e R=-S, T=0 si hanno le soluzioni
 
 x=0, y=a^2, z=+/-a
 x=+/-a^3, y=-a^2, z=0
 x=+/-3a^3, y=-2a^2, z=+/-a
 
 dell\'equazione originale.
 
 Se ora dimostriamo che l\'equazione in R,S,T non ha altre soluzioni, abbiamo fatto.
 
 Visto che questa è la parte interessante della faccenda, non posto subito la soluzione e spero che qualcuno ci si metta d\'impegno, anche perchè, sinceramente, la soluzione che ho trovato io bara un poco, utilizzando un fatto dimostrabile senza problemi con tecniche elementari, ma in sè molto poco olimpico...se può aiutare, io ho supposto di avere una terna R,S,T (non \"banale\") che risolvesse in cui Abs(T) era il più piccolo possibile ed ho trovato un assurdo costruendo un\'altra soluzione R\',S\',T\' con Abs(T\')<Abs(T).
 
 buon lavoro.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 ecco si e\' fermato dove mi sono fermato io <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> ... vabbe\' allora ne approfitto per uppare il problema, sperando che qualcuno (anche evariste) posti l\'ultima parte della soluzione.
 ciao!
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: matthewtrager il 31-10-2004 13:00 ]

@Matthew: Se vuoi posto, ma è un po\' poco olimpica...
 Io aspettavo che qualcuno ci si cimentasse ma nulla...
 Bene, quando ho un poco di tempo, scrivo la dimostrazione che non ci sono altre soluzioni.

Ok, ecco la seconda parte...
 
 Eravamo arrivati a
 R3+S3=2T3
 con (R,S,T)=1
 
 Supponiamo che esista una soluzione non banale, in cui (R,S)=1 e Abs(T) sia il più piccolo possibile.
 
 Poichè la somma di questi due al cubo è pari, devono essere entrambi dispari.
 Quindi esistono a,b senza fattori comuni t.c.
 R=a+b
 S=a-b
 
 Sostituendo nella precedente abbiamo
 a(a2+ 3b2)=T3
 
 Quindi, entrambi i fattori del lato sinistro dell\'uguaglianza sono cubi:
 a=c3
 a2+ 3b2=d3
 
 Possiamo fattorizzare la seconda come
 (a+b (-3)(1/2))(a-b (-3)(1/2))=d3
 
 Ora, divaghiamo un attimo e consideriamo l\'insieme
 A={ a + b*(-3)(1/2)) | 2a, 2b sono interi}
 Osserviamo che :
 i) possiamo sommare e sottrarre tra loro due elementi di questo insieme A ottenendo ancora un elemento dell\'insieme A
 ii) possiamo moltiplicare tra loro due elementi dell\'insieme A ottenendo ancora un elemento dell\'insieme A
 iii) 0,1 stanno in A
 iv) per ogni a in A esiste b in A t.c. a+b=0
 Ovvero, questo insieme A possiede più o meno le stesse proprietà dell\'insieme Z degli interi. Si può far vedere in maniera non molto complicata che vale anche il teorema di fattorizzazione unica e che esistono anche in A dei numeri che si possono definire primi.
 
 Quello che ci interessa è che nel nostro caso i due fattori (a+b (-3)(1/2))(a-b (-3)(1/2)) sono coprimi, quindi sono entrambi cubi in A, ovvero esistono e,f t.c. 2e,2f sono interi per cui:
 
 a+b (-3)(1/2)=(e+f (-3)(1/2))3=
 =e(e2-9f2)+f(3e2-3f2)(-3)(1/2)
 
 Quindi (poichè (-3)(1/2) non è intero nè la metà di un intero)
 
 a=e(e2-9f2)
 b=f(3e2-3f2)
 
 Ma noi sappiamo che a=c3 e dunque, fattorizzando, si ha
 c3=e(e+3f)(e-3f)
 
 Ora, se e,f non sono interi, ma metà di interi, possiamo moltiplicare tutto per 8 e far tornare il conto in interi. Ora, poichè a,b erano coprimi, anche e,f lo sono, quindi ogni fattore a destra dell\'ultima uguaglianza deve essere un cubo. Quindi, abbiamo
 e=g3
 e+3f=h3
 e-3f=i3
 
 Quindi
 h3+i3=2g3
 
 Ma così abbiamo che Abs(g) < Abs(e) < Abs(c) < Abs(T), contraddicendo l\'assunto che R,S,T fosse la soluzione in cui T compariva con il più piccolo valore assoluto.
 C.V.D.
 
 NOTA : la proprietà di fattorizzazione unica dell\'insieme A si può dimostrare in modo semplice, anche se non abbastanza breve (meno di una riga) da essere inserito nella dimostrazione...se qualcuno vuole, posto anche quello... [ Questo Messaggio è stato Modificato da: EvaristeG il 31-10-2004 18:48 ]

Grazie mille Evariste! non era proprio intuitivo... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">
 
 ho due domande:
 
 1) perche\' se a e b sono relativamente primi allora anche i fattori \'a\' e \'a^2+ 3b^2\' sono relativamente primi (e quindi entrambi cubi)? secondo me c\'e\' da considerare un secondo caso in cui a e\' divisibile per 9 e si ottiene
 27a(27a^2+b^2)=T^3 (e quindi ora questi due fattori sono cubi)
 
 la stessa domanda vale anche per c^3=e(e+3f)(e-3f). (se e e\' divisibile per 3 non mi sembra che debbano essere tutti cubi)
 
 2) le altre relazioni mi tornano ma non capisco perche\' Abs(e) < Abs(c).
 Abbiamo che c^3=e(e+3f)(e-3f)=e(e^2-9f^2)< e^3 => Abs(e)>Abs(c)
 
 Ciao!
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: matthewtrager il 07-11-2004 13:26 ]

Non son nelle migliori condizioni di lucidità per risponderti, ma ci provo.
 
 1) effettivamente hai ragione, però nota che, se poniamo a=9U l\'uguaglianza diventa
 T3=27U(27U2+b2)
 in cui ora U e 27U2+b2 sono coprimi e dunque entrambi cubi, per cui possiamo procedere come nella dimostrazione, fattorizzando 27U2+b2=(b+3*U*(-3)1/2)(b-3*U*(-3)1/2)
 da qui in poi è uguale.
 Il succo è che abbiamo comunque ottenuto \"aggeggi\" nella stessa forma in cui li ottenevamo supponendo che non ci fossero fattori comuni, e quindi la dimostrazione fatta in quel caso va bene anche per questo, cambiando un po\' di simboli.
 
 stesso ragionamento va fatto sulla relazione c3=e(e+3f)(e-3f) :
 sia infatti e=3V; allora la relazione diventa
 c3=27V(V+f)(V-f)
 in cui ora V, V-f, V+f sono coprimi a due a due e quindi cubi. Da qui in poi la dimostrazione prosegue identica, poichè l\'unica proprietà di questa scomposizione usata è che la somma di due dei fattori fa il terzo (che è ancora vero).
 
 Quindi queste due possibilità non danneggiano la dimostrazione e non serve neanche studiare strade alternative per risolverle.
 
 2) ci penserò...ora come ora non mi viene in mente nulla...è evidente che, qui come prima, hai ragione. Non vorrei fosse stata semplice disattenzione mia nel ricontrollare la dimostrazione, perchè altrimenti possiamo tranquillamente buttare nel cesso tutte le righe che precedono quella disuguaglianza bastarda...

Ah, forse ci sono!! e se dicessimo
 Abs(g) < Abs(e) < Abs(c3) < Abs(T)
 ??
 Questa dovrebbe essere corretta e adempiere allo scopo.
 
 Se ho detto scempiaggini, ditemelo con gentilezza, che (come già dissi) non sono nel più perfetto stato mentale ora come ora (=molto rincoglionito).
 
 Saluti [ Questo Messaggio è stato Modificato da: EvaristeG il 07-11-2004 22:35 ]

OliForum Matematico

[N] Diofantea