OliForum Matematico

propongo questo problema,che è uscito come problema della settimana al dipartimento di matematica a torino, mi sembra molto carino(e non semplice):
<BR>
<BR>risolvere in modo furbo il seguente sistema:
<BR>
<BR>x^3-3x=y
<BR>y^3-3y=z
<BR>z^3-3z=x
<BR>
<BR>buon divertimento
<BR>
<BR><IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> ANDREA

Sembra interessante; ma in quale insieme andrebbe risolto?

Carino. Karl ti ricorda qualcosa?

trovare tutte le soluzioni reali...

Si cercano solo le soluzioni in N.
<BR>Abbiamo, sommando membro a membro.
<BR>x³+y³+z³=4(x+y+z)
<BR>ponendo x>=y>=z, poichè 1+1+1<4 e 3³+y³+z³>12+x+y,avremo che x è 2, se escludiamo la soluzione x=y=z=0
<BR>quindi avremo
<BR>8+y³+z³=8+4(y+z)
<BR>y³+z³=4(y+z), analogamente a prima, se y=/=z avremo y=2, da cui
<BR>z³=4z, che in N ha le radici 0 e 2, in Z anche -2.
<BR>Quindi, in N, le soluzioni sono
<BR>(0,0,0);(2,2,2);(-2,-2,-2)
<BR>
<BR>EDIT: Corretta<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 06-11-2004 17:40 ]

Boll, ho seguito un procedimento simile al tuo (utilizzando l\'<!-- BBCode Start --><I>extremal principle</I><!-- BBCode End --> per supporre una variabile maggiore o al più uguale di tutte le altre e poi confrontando le varie equazioni) ed in Z ho trovato le triple (x, y, z): (0, 0, 0); (2, 2, 2); (-2, -2, -2). <!-- BBCode Start --><I>Be careful!</I><!-- BBCode End --> Hai incluso tutte le triple di soluzioni dell\'equazione risultante dalla combinazione lineare delle tre, ma hai dimenticato che quello risultante è ancora un sistema e le triple (2,0,0); (0,2,0); (0,0,2); (2,2,0); (0,2,2); (2,0,2) pur soddisfando l\'equazione, <!-- BBCode Start --><B><font color= red>non risolvono affatto il sistema! </font></B><!-- BBCode End -->
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 05-11-2004 21:46 ]

Hai ragone DB85, dovevo ributtare tutto dentro il sistema. Ok in N ci sono solo (0,0,0);(2,2,2) e in Z, per simmetria (-2,-2,-2).
<BR>Qualche idea sull\'approccio in R?

Non penso ci sia un approccio \"furbo\" per risolverlo in R... Comunque se qualcuno lo trova, faccia un fischio! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 06-11-2004 13:57 ]

suggerimento:
<BR>un modo furbo consiste nel trovare una sostituzione furba che semplifica molto l\'ambaradan...buona fortuna

Tanto per la cronaca:il sistema ammette tre sole terne di soluzioni e sono le già citate (0,0,0);(2,2,2);(-2,-2-2).
<BR>Una buona strategia risolutiva potrebbe essere mostrare che il sistema non può avere come soluzioni tre numeri tra loro diversi(anche se non mi sembra immediato..)e poi il gioco è fatto.
<BR>Infatti ,sommando le tre eq.precedenti si arriva a:
<BR>x^3-4x+y^3-4y+z^3-4z=0 da cui se x=y=z evidentemente si trovano direttamente le nostre terne.
<BR>Chiedo comunque al proponente di dire se davvero esiste una soluzione furba o se si tratta solo di evitare 7200 conti per farne 4500..!!
<BR>Comunque è un bell\'esercizio!!
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

purtroppo non è vero che ammette solo quelle tre soluzioni...
<BR>se x,y,z sono concordi allora coincidono(quindi ci sono quelle 3 soluzioni).
<BR>Si può far vedere in questo modo:
<BR>senza perdere di generalità grazie alla simmetria del sistema supponiamo x,y,z>0 e x>y.
<BR>allora abbiamo
<BR> x(x^2-3)=y --> x^2<4 --> y^2<4 --> z=y(y^2-3)<y
<BR>-->z^2<4-->x=z(z^2-4)<z<y<x. contraddizione
<BR>quindi se sono concordi coincidono...altrimenti...buon lavoro

Ciau, chi si rivede!! Tutto bene lì a Torino?
<BR>
<BR>Senti dino, non capisco l\'ultima implicazione della tua dimostrazione: perché dovrebbe essere x=z(z^2-4)?
<BR>
<BR>Inoltre, vorrei porre la vostra attenzione su una cosa: il sistema non è simmetrico rispetto a tutte le permutazioni delle variabili, ma solo a quelle cicliche! Quindi, se va bene supporre ad esempio che x>=y e x>=z, non va bene supporre che x>=y>=z.

ciau mind! tutto ok,quest\'anno i corsi sono un pò più impestati dell\'altr\'anno ma troviamo ancora (eccome se ne troviamo!!!) il tempo per cazzeggiare con gli scacchi e simili,e tu?ho sentito che ti sei laureato... per quanto riguarda il problema:
<BR>
<BR>ERRATA CORRIGE(non so perchè ma mi fa casino se metto troppi simboli):
<BR>ultimo passaggio:x=z(z^2-3) quindi x minore di z ,ma poichè z minore di y allora x minore di y. contraddizione.
<BR>
<BR>Quindi se le soluzioni sono concordi due di esse coincidono,sbattendo nel sistema si trova che la terza deve essere uguale.
<BR>Se però non sono concordi non è affatto detto che coincidano,infatti...
<BR>
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<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: dino il 06-11-2004 20:30 ]

Questa è una mia idea verificata su un altro esercizio ma nn su questo. Definisco
<BR>f(x)=x^3-3x
<BR>essendo f\'(x)>=0 per ogni x, si ricava che f(x) è biiettiva e monotona cresciente. Ora, supponendo x>=y e x>=z, si ricava per esempio
<BR>x = z^3-3z >= y = x^3-3x, ovverosia z>=x il che pone l\'uguaglianza tra x e z, salvo errori di calcolo. Andando avanti così si potrà plausibilmente dimostrare che x=y=z e da quà si và tranquilli...

Ok, adesso ho capito. Molto figo.
<BR>Comunque, se non ti fa i < e i > è perché li interpreta come tag HTML, quindi basta che disattivi l\'interpretazione HTML prima di inviare il messaggio.
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-11-06 20:15, dino wrote:
<BR>ho sentito che ti sei laureato...
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Oh, sì, l\'ho sentito anch\'io, ma non so se crederci...