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Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da Rhossili
ABC e\' un simpatico triangolo qualsiasi di lati a, b e c (opposti rispettivamente ai vertici A, B, C). Dimostrare che le circonferenze a\', b\', c\' di diametri a, b, c con centri (rispettivamente) sulla meta\' dei lati a, b e c si incontrano sul perimetro del triangolo. (Scusate le ripetizioni di a, b e c ma non avevo altra scelta.)
<BR>lo so che e\' facile, ma non metteteci meno di tre minuti a risolverlo! un po\' di dignita\'!
<BR>ci sentiamo
<BR>-rhbay
<BR>
<BR>
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da lordgauss
Poniamo AB>AC>BC.
<BR>INTERSEZIONI:
<BR>oltre a quelle banali nei vertici A,B,C occorre dimostrare che a\' e b\' si incontrano su AB.
<BR>Detto H il punto d\'incontro tra b\' e AB, abbiamo che ACH è rettangolo, pertanto H è il piede dell\'altezza portata da C su AB.
<BR>Detto H\' il punto d\'incontro tra a\' e AB, si ragiona allo stesso modo.
<BR>Pertanto H coincide con H\' e dunque a\' e b\' si incontrano su AB.
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da jack202
Era un problema che girava già da un pezzo
<BR>sulla mailing list... ecco qualcosa di carino :
<BR>
<BR>Sia ABC un simpatico triangolo qualunque
<BR>e P un punto sulla circonferenza circoscritta
<BR>al triangolo. Se X,Y e Z sono le proiezioni
<BR>di P sulle rette che contengono i lati
<BR>di ABC, dimostrare che X,Y,Z sono allineati.
<BR>
<BR>(abbastanza facile)
<BR> <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon21.gif">
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da ReKaio
sostanzialmente chiedi di dimostrare che X Y e Z sono allineati solo se ABCP appartengono ad una stessa circonferenza?
<BR>ho già sentito qualcosa del genere...
<BR>aspetta... un corollario di un teorema famoso (tolomeo credo, non mi ci gioco l\'anima), dice suppergiù che 4 punti distinti a b c d appartenenti ad X, posta la condizione che nessuna terza di punti sia allineata, appartengono alla stessa circonferenza solo se ca,cb=da,db (angoli)
<BR>
<BR>si può ricondurre a qualcosa di simile?
<BR>
<BR>dimmi se sono sulla strada buona <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_razz.gif"> (o almeno non linciarmi se le ho sparate toppo grosse)<BR><BR><font size=1>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: ReKaio il 2002-03-05 18:01 ]</font>
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da lordgauss
NOTE PRELIMINARI:
<BR>\"<PQR\" = \"angolo PQR\".
<BR>X sta su AB, Y su BC, Z su AC.
<BR>
<BR>DIMOSTRAZIONE
<BR>PB è \"visto\" da X e da Y sotto angoli uguali (entrambi retti): ciò basta per affermare che XYBP è ciclico e dunque
<BR><PXY+ <PBY = 180.
<BR>Ma <PBY = <ABC + <ABP = <APC + <ACP = <PAZ. Ma visto che gli angoli in Z e X sono retti, AXZP è ciclico e dunque <PAZ = <PXZ. Quindi <PBY = <PXZ e dunque <ZXP + <PXY = <ZXY = 180. Pertanto Z,X e Y sono allineati.
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da lordgauss
ReKaio, il teorema non dice che X,Y e Z sono allineati solo se A,B,C,P appartengono alla stessa circonferenza, bensì l\'inverso: se A,B,C,P appartengono alla stessa circonferenza allora X,Y e Z sono allineati.
<BR>
<BR>Inoltre tu parli della condizione sotto la quale un quadrilatero abcd è inscrittibile (o ciclico): se è essa che intendi, è semplicemente che gli angoli opposti siano supplementari e non deriva certo dal teorema di Tolomeo.
<BR>Però tu parli di \"4 punti distinti a b c d appartenenti ad X\", e forse non ho capito bene cosa intendi.
<BR>
<BR>L\'impostazione di lavorare sugli angoli è quella giusta: questi problemi si risolvono in gran parte con considerazioni (più o meno complesse) sugli angoli e sui quadrilateri ciclici.
<BR>
<BR>