OliForum Matematico

<font color=red><!-- BBCode Start --><B>Problema 1:</B><!-- BBCode End --></font> per ogni m € N₀, diremo <!-- BBCode Start --><I>molteplicità</I><!-- BBCode End --> di m la cardinalità (eventualmente infinita) dell\'insieme {n € N₀: phi(n) = m}. La mappa
<BR>N_phi(·): N₀ --> N^* (si legga: \"N unito al punto all\'infinito\") che ad ogni m € N₀ fa corrispondere la sua molteplicità è detta <!-- BBCode Start --><I>funzione di valenza della totiente di Eulero</I><!-- BBCode End -->. Si provi che:
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<BR>i) N_phi(m) < +inf, per ogni m € N₀;
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<BR>ii) N_phi(m) = 0 se m è un dispari intero > 1;
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<BR>iii) dimostrare che esistono infiniti m € N₀ tali che: N_phi(m) = 2.
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<BR>Ho classificato il problema, nel suo complesso, come un <!-- BBCode Start --><I>harder</I><!-- BBCode End -->, nonostante che i quesiti i) e ii) siano senza dubbio di livello \"principiante\". La scelta è tuttavia giustificata dal fatto che, personalmente, ho trovato piuttosto \"duro\" dimostrare il punto iii), e poi anche dalla considerazione che il quesito coinvolge nozioni probabilmente sconosciute al 90% degli utenti⁽¹⁾ del forum, il che - nella mia fantasia - già lo rende \"scarsamente digeribile\" in partenza: a questo proposito, vi consiglio vivamente di rivolgervi ad uno specialista del settore, il nostro Mind, il quale vi saprà suggerire senza alcun dubbio qualche <!-- BBCode Start --><I>trick</I><!-- BBCode End --> per regolarizzare le attività del vostro intestino. Pare infatti ch\'egli dia di corpo ch\'è una meraviglia, e che addirittura vada <a href=\"http://olimpiadi.ing.unipi.it/modules.p ... =7\"><font color=blue>in giro</font></a> vantandosene pubblicamente e decantando le glorie del suo c**o... ma vi pare \"Normale\"?!? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
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<BR>⁽¹⁾: sì, le stime sono ottimistiche, lo so... ma non ha molta importanza, a pensarci bene! Quindi, niente commenti, <!-- BBCode Start --><I>grassie</I><!-- BBCode End -->...
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<BR>EDIT: avevo dimenticato il punto iii), d\'oooh...
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<BR>\"Uno sciocco non entra, non esce, non si siede, non si alza, non sta in piedi come un uomo di spirito.\" - Jean de La Bruyère <font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 16-11-2004 10:07 ]

Ne approfitto per aggiungere alla lista dei precedenti un altro problema sulla funzione di valenza, e tirare un po\' su questo <!-- BBCode Start --><I>thread</I><!-- BBCode End -->, nella speranza che qualche anima pia voglia degnarlo delle proprie attenzioni...
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<BR><font color=red><!-- BBCode Start --><B>Problema 2:</B><!-- BBCode End --></font> nelle stesse notazioni del problema n° 1, si dimostri che:
<BR>maxlim_{n --> +inf} N_phi(2ⁿ) = +inf sse esistono infiniti primi di Fermat.
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<BR>Per completezza, ricordo che: i) un primo di Fermat è semplicemente un primo naturale della forma F_n := 2^2ⁿ + 1, con n € N; ii) se {x_n: n € N} è un\'arbitraria successione di numeri reali, si pone: maxlim_{n --> +inf} x_n := sup(K), ove K è l\'insieme di tutti e soli gli l € R^* (si legga: \"R esteso\") per i quali esiste un\'estratta {x_{n_k}: k € N} di {x_n: n € N} tale che: l = lim_{k --> +inf} x_{n_k}.<font color=white>2ⁿ</font>
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<BR>Ho marchiato il problema di \"rosso\" cosciente del fatto che la sua formulazione utilizza nozioni, obiettivamente, poco olimpiche. Tuttavia, se i più <!-- BBCode Start --><I>audaci</I><!-- BBCode End --> volessero dargli un\'occhiata, beh... credo che potrebbe essere comunque istruttivo. In fondo, se si esclude la definizione qui sopra menzionata, il problema è quasi banale e si risolve utilizzando esclusivamente considerazioni di Teoria dei Numeri Elementare. E\' soltanto la sua formulazione a incutere (un po\' di) timore!
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<BR>\"And now... ahmmm... another psycological exercise.\" - A. M. Vinogradov<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 16-11-2004 10:05 ]

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-11-14 18:53, HiTLeuLeR wrote:
<BR>vi consiglio vivamente di rivolgervi ad uno specialista del settore, il nostro Mind, il quale vi saprà suggerire senza alcun dubbio qualche <!-- BBCode Start --><I>trick</I><!-- BBCode End --> per regolarizzare le attività del vostro intestino.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Se arrivano a leggere fino a qui, non ne hanno più bisogno... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-11-16 12:24, MindFlyer wrote:
<BR>Se arrivano a leggere fino a qui, non ne hanno più bisogno... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Bene!!! Sono felice di sapere che trovi la lettura del mio problema stimolante, Mind. In fondo, il <!-- BBCode Start --><I>vivaio degli olimpionici</I><!-- BBCode End --> dovrà pur essere fertilizzato, in qualche modo... <!-- BBCode Start --><I>Raga</I><!-- BBCode End -->, proporrei di tributare a questo punto un encomio alle flatulente cag**e di cui, generosamente e senza alcun risparmio, il nostro valoroso ci fa dono. Dal profondo delle mie viscere turbolente grazie, Mind... grazie di esistere!!! Ehi, continua sempre ad essere così produttivo, mi raccomando... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
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<BR>\"Il sommo coraggio è fare senza alcun testimone quegli stessi atti che saremmo in grado di compiere con gli occhi del mondo puntati su di noi.\" - François de La Rochefoucauld<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 16-11-2004 13:33 ]